【題目】如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹,已知角A為120°,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.
(1)若圍墻AP,AQ總長度為200米,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大?
(2)已知AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高1.5米,AP段圍墻造價為每平方米150元,AQ段圍墻造價為每平方米100元.若圍圍墻用了30000元,問如何圍可使竹籬笆用料最?

【答案】
(1)解:∵AP+AQ=200,

∴S= =2500

當且僅當x=y=100時取“=”.

∴當x=y=100時,可使得三角形地塊APQ的面積最大


(2)解:設AP=x,AQ=y,則1x150+1.5y100=30000,

化為:x+y=200≥2 ,可得xy≤10000.

∴PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=40000﹣xy≥30000.

當且僅當x=y=100時取“=”.

即PQ≥100

∴當且僅當x=y=100時,可使PQ取得最小值,即使用竹籬笆用料最省


【解析】(1)AP+AQ=200,可得S= .(2)設AP=x,AQ=y,可得1x150+1.5y100=30000,化為:x+y=200≥2 ,可得xy≤10000.

可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=(x+y)2﹣xy=40000﹣xy,即可得出PQ的最小值.

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