【題目】定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(3)=0,且當(dāng)x>0時(shí),不等式f(x)>﹣xf′(x)恒成立,則函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個數(shù)為_______.
【答案】3
【解析】
要求函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個數(shù),可構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的個數(shù)。根據(jù)已知條件可判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,進(jìn)而畫函數(shù)的圖象,觀察兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)即可。
令, 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),不等式f(x)>﹣xf′(x)恒成立,
所以當(dāng)x>0時(shí),。所以函數(shù)在上為增函數(shù)。
因?yàn)?/span>y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以。
所以函數(shù)為偶函數(shù),且函數(shù)在上為減函數(shù)。
因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(3)=0,所以。
所以。做函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示。
由函數(shù)的圖象可知,函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)。
所以函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個數(shù)為3個。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐中,底面,為正方形的對角線,給出下列命題:
①為平面PAD的法向量;
②為平面PAC的法向量;
③為直線AB的方向向量;
④直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量.
其中正確命題的序號是______________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)=[].
(Ⅰ)若曲線y= f(x)在點(diǎn)(1,)處的切線與軸平行,求a;
(Ⅱ)若在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼吸酒精含量閥值與檢驗(yàn)》國家標(biāo)準(zhǔn),新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升,小于80毫克/百毫克升為飲酒駕車,血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車,經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn),喝1瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如下:
該函數(shù)模型如下:
根據(jù)上述條件,回答以下問題:
(1)試計(jì)算喝1瓶啤酒后多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值?最大值是多少?
(2)試計(jì)算喝1瓶啤酒后多少小時(shí)后才可以駕車?(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)
(參數(shù)數(shù)據(jù): , , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)的極值為正數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
(1)若是單調(diào)函數(shù),且有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若,求的值域;
(3)若恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,已知直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè),求的取值范圍.
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