Question

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，平面ABC，D，E分別是AC，的中點(diǎn)．

求證：平面；

求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

(1)根據(jù)線面垂直和面面垂直判定和性質(zhì),證得,通過三角形全等,證得,再根據(jù)線面垂直的判定定理,證得平面;

(2) 建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求二面角的余弦值.

（1）∵，D是AC的中點(diǎn)，∴，

∵平面ABC，∴平面平面ABC，

∴平面，∴．

又∵在正方形中，D，E分別是AC，的中點(diǎn)，易證得∴△A1AD≌△ACE

∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．

又，∴平面．

（3）取中點(diǎn)F，以DF，DA，DB為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，

設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為，則，

令，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

令，則，

設(shè)二面角的平面角為，觀察可知為鈍角，

，

∴，故二面角的余弦值為．