【題目】對于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足:在區(qū)間上單調遞減;存在常數(shù),使其值域為,則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

1)求證:函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”;

2)判斷函數(shù)是不是函數(shù),的“漸近函數(shù)”,并說明理由;

3)若函數(shù),,求證:是函數(shù)的“漸近函數(shù)”充要條件是.

【答案】見解析;,理由見解析;見解析.

【解析】

利用指數(shù)型函數(shù)的單調性、單調性的性質證明出函數(shù)至少不滿足定義中兩條性質中的一條即可;

用反比例函數(shù)的單調性可以判斷函數(shù)是否滿足定義中的兩條性質,進而可以判斷出函數(shù)是不是函數(shù),的“漸近函數(shù)”;

根據(jù)定義可知,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,根據(jù)單調性的定義可以求出的取值范圍,再利用定義中的第二條性質再求出的取值范圍,最后對兩個范圍取交集即為的值.

證明:因為函數(shù)=

,由指數(shù)函數(shù)的單調性和復合函數(shù)的單調性可知,

函數(shù)滿足在上單調遞減;

,,

所以當,函數(shù)趨近于負無窮大,

此時不滿足存在常數(shù),使其值域為,

所以函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”;

函數(shù)是函數(shù),的“漸近函數(shù)”,理由如下:

因為,

化簡可得,,

由反比例函數(shù)的單調性可知,函數(shù)是減函數(shù);

, 函數(shù)有最大值為,

所以存在使函數(shù)的值域為

由此可得滿足條件①②.

證明:(必要性)因為是函數(shù)的“漸近函數(shù)”,

,則在區(qū)間上單調遞減;

,且則有

因為,且,所以,

,

因為在區(qū)間上單調遞減,且,

所以必有,即有,

所以必有成立;

因為在區(qū)間上單調遞減,

所以當時,有最大值為,

即函數(shù)的值域必為

即當時,有,即必有成立,

化簡可得,即,

所以此時有成立;

綜上可知,滿足條件①②的實數(shù).

(充分性)當時,,

由反比函數(shù)的單調性知,滿足

在區(qū)間上單調遞減,且其值域為,滿足條件①②;

所以是函數(shù)的“漸近函數(shù)”充要條件是.

練習冊系列答案
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【題目】有一個同學家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲飲料銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的散點圖和對比表:

攝氏溫度

熱飲杯數(shù)

(1)從散點圖可以發(fā)現(xiàn),各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里。因此,氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關,即氣溫越高,當天賣出去的熱飲杯數(shù)越少。統(tǒng)計中常用相關系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關系的強弱.統(tǒng)計學認為,對于變量,如果,那么負相關很強;如果,那么正相關很強;如果,那么相關性一般;如果,那么相關性較弱。請根據(jù)已知數(shù)據(jù),判斷氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)相關性的強弱.

(2)(i)請根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的線性回歸方程;

(ii)記為不超過的最大整數(shù),如,.對于(i)中求出的線性回歸方程,將視為氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的函數(shù)關系.已知氣溫與當天熱飲每杯的銷售利潤的關系是 (單位:元),請問當氣溫為多少時,當天的熱飲銷售利潤總額最大?

(參考公式),,

(參考數(shù)據(jù)), .

,,.

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【題目】甲、乙兩人參加一個射擊的中獎游戲比賽,在相同條件下各打靶50次,統(tǒng)計每次打靶所得環(huán)數(shù),得下列頻數(shù)分布表.

環(huán)數(shù)

3

4

5

6

7

8

9

10

甲的頻數(shù)

0

1

4

7

14

16

6

2

乙的頻數(shù)

1

2

5

6

10

16

8

2

比賽中規(guī)定所得環(huán)數(shù)為1,2,3,4時獲獎一元,所得環(huán)數(shù)為5,6,7時獲獎二元,所得環(huán)數(shù)為8,9時獲獎三元,所得環(huán)數(shù)為10時獲獎四元,沒命中則無獎.

(1)根據(jù)上表,在答題卡給定的坐標系內畫出甲射擊50次獲獎金額(單位:元)的條形圖;

(2)估計甲射擊1次所獲獎至少為三元的概率;

(3)要從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽,請你根據(jù)甲、乙兩人所獲獎金額的平均數(shù)和方差作出選擇.

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【題目】在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標系的原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求圓的極坐標方程;

(2)設曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為,求三條曲線,,所圍成圖形的面積.

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【題目】為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果,在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績,并作成如下莖葉圖:

(Ⅰ)從參加培訓的學生中隨機選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計這名學生考核優(yōu)秀的概率;

(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;

(Ⅲ)記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù),規(guī)定當時培訓有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效,并說明理由.

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(Ⅱ)求證:以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.

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(1)當時,關于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(2)求證:對于任意的正整數(shù),不等式恒成立.

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