Question

【題目】有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲飲料銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的散點圖和對比表：

攝氏溫度
熱飲杯數(shù)

（1）從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里。因此，氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關(guān)，即氣溫越高，當天賣出去的熱飲杯數(shù)越少。統(tǒng)計中常用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱.統(tǒng)計學認為，對于變量、，如果，那么負相關(guān)很強；如果，那么正相關(guān)很強；如果，那么相關(guān)性一般；如果，那么相關(guān)性較弱。請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，判斷氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)相關(guān)性的強弱.

（2）（i）請根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的線性回歸方程；

（ii）記為不超過的最大整數(shù)，如，.對于（i）中求出的線性回歸方程，將視為氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的函數(shù)關(guān)系.已知氣溫與當天熱飲每杯的銷售利潤的關(guān)系是 （單位：元），請問當氣溫為多少時，當天的熱飲銷售利潤總額最大？

（參考公式），，

（參考數(shù)據(jù)），， .

，，，.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) （i）（ii）時，當天的熱飲銷售利潤總額最大，且最大為元

【解析】

(1)由已知數(shù)據(jù)，求出相關(guān)系數(shù)，可得到結(jié)論．

（2）（i）將參考數(shù)據(jù)代入?yún)⒖脊�式中，求出回歸系數(shù)和，寫出回歸方程；

（ii）將利潤總額的關(guān)系式列出，利用的意義將寫成分段函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求最大值.

（1）因為

.

所以氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的負相關(guān)很強.

（2）（i）因為 ，.

所以氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的線性回歸方程為.

（ii）由題意可知氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的關(guān)系為.

設氣溫為時，則當天銷售的熱飲利潤總額為 ，

即.

易知，，.

故當氣溫時，當天的熱飲銷售利潤總額最大，且最大為元.