【題目】如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，、是該橢圓的左、右焦點(diǎn)， A、B是直線4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，且線段EF恰好過橢圓的左焦點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，結(jié)合可求出，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得，，又設(shè)，由三點(diǎn)共線得，，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M到直線EF的距離，進(jìn)而證得結(jié)果.

（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)，

∴，又，聯(lián)立解得：，，，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），

聯(lián)立得：

∴，

∴……（*）

又設(shè)，由A、E、D三點(diǎn)共線得，同理可得.

，

∴.

設(shè)AB中點(diǎn)為M，則M坐標(biāo)為（）即（ ），

∴點(diǎn)M到直線EF的距離.

故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面ABCD 是平行四邊形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，⊥，⊥，，分別是，的中點(diǎn)，連結(jié)．求證：

（1）∥平面；

（2）⊥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，求函數(shù)在上的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù)，若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減;②存在常數(shù)，使其值域?yàn)?/span>，則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

（2）判斷函數(shù)是不是函數(shù)，的“漸近函數(shù)”，并說明理由；

（3）若函數(shù)，，，求證：是函數(shù)的“漸近函數(shù)”充要條件是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在第十五次全國(guó)國(guó)民閱讀調(diào)查中，某地區(qū)調(diào)查組獲得一個(gè)容量為的樣本，其中城鎮(zhèn)居民人，農(nóng)村居民人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民人，農(nóng)村居民人.

（Ⅰ）填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為，經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民

農(nóng)村居民

合計(jì)

經(jīng)常閱讀

不經(jīng)常閱讀

合計(jì)

（Ⅱ）從該地區(qū)居民城鎮(zhèn)的居民中，隨機(jī)抽取位居民參加一次閱讀交流活動(dòng)，記這位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附：，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】地球海洋面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于陸地面積，隨著社會(huì)的發(fā)展，科技的進(jìn)步，人類發(fā)現(xiàn)海洋不僅擁有巨大的經(jīng)濟(jì)利益，還擁有著深遠(yuǎn)的政治利益.聯(lián)合國(guó)于第63屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上將每年的6月8日確定為“世界海洋日”.2019年6月8日，某大學(xué)的行政主管部門從該大學(xué)隨機(jī)抽取100名大學(xué)生進(jìn)行一次海洋知識(shí)測(cè)試，并按測(cè)試成績(jī)（單位：分）分組如下：第一組[65，70），第二組[70，75），第二組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到頻率分布直方圖如下圖：

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若從第四組、第五組的學(xué)生中按組用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成中國(guó)海洋實(shí)地考察小隊(duì)，出發(fā)前，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從6人中抽取2人作為正、副隊(duì)長(zhǎng)，列舉出所有的基本事件并求“抽取的2人為不同組”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有雙曲線（，），A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，C，D為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，面積的最大值為，面積的最小值為4，則雙曲線的離心率為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，且圓與軸交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.

（1）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求直線的方程；

（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn).（i），求直線的方程；（ii）直線與直線相交于點(diǎn)，直線，直線，直線的斜率分別為，，，是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線（）經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，直線交軸于，直線交軸于.

(1)若直線過點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；

(2)若直線過點(diǎn)，設(shè)，，，求的值；

(3)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，，求的值.

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