Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（a＞b＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明其單調(diào)性．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

+b（a＞b＞0
∴f′（x）=1-

a

x2

則由1-

a

x2

≥0得x≤-

a

或x≥

a

，故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）；
由1-

a

x2

≤0得，-

a

≤x≤

a

，又x≠0，故函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是[-

a

，0），（0，

a

]．
下面證明f（x）在（0，

a

]上是減函數(shù)：
證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，

a

]，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，

a

]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞a，x₁x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，

a

]上是減函數(shù)．
同理可證f（x）在[-

a

，0）上是減函數(shù)，在（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，以及用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的增減性的方法，屬常規(guī)題目．