Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

1

2

x2-(a+1)x（a≥1）
（1）討論f（x）的單調性與極值點．
（2）若g(x)=

1

2

x2-x-1(x＞1)，證明當a=1時，g（x）的圖象恒在f（x）的圖象上方．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調性，從而可得極值點．
（2）構造函數(shù)，再借助導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及極值得到函數(shù)的圖象恒在x軸上方，問題得以解決．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

(x＞0)
當a=1時，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，此時f（x）無極值點
當a＞1時，f'（x），f（x）在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，1）	（1，a）	（a，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	增	減	增

由此表可知f（x）在（0，1）和（a，+∞）上單調遞增，f（x）在（1，a）上單調遞減，
∴x=1為極大值點，x=a為極小值點…（6分）
（2）a=1時，令F(x)=g(x)-f(x)=

1

2

x2-x-1-lnx-

1

2

x2+2x=x-1-lnx ，
∴F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
當x＞1時，F(xiàn)'（x）＞0，0＜x＜1時，F(xiàn)'（x）＜0，
∴F（x）在（0  1）遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴F（x）＞F（1）=0，∴x＞1時，F(xiàn)（x）＞0恒成立
即x＞1時，g（x）＞f（x）恒成立，
∴當x＞l時，g（x）的圖象恒在f（x）的圖象的上方…（12分）

點評：構造函數(shù)是解決問題的關鍵！能借助導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性及極值從而得到函數(shù)的圖象．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、導數(shù)的思想以及問題轉化的思想．