Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）對(duì)任意的x∈（1，+∞）均有f（x）＜ax，若a∈Z，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）a的最小值為3

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，分情況討論，進(jìn)而可得求得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由得到，轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的最小值．

（1）由題意，函數(shù)，

則，x＞0且x≠1，

令，則其圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線x，g（0）＝10，

當(dāng)，即a≥20時(shí)，則g（x）＞0，f′（x）＞0，

此時(shí)f（x）分別在（0，1）和（1，+∞）上遞增，

當(dāng)時(shí)，即a＜20時(shí)，令△＝（a﹣20）2﹣400≤0．可得0≤a＜20，

所以當(dāng)0≤a＜20時(shí)，則g（x）＞0，f′（x）＞0，

此時(shí)f（x）分別在（0，1）和（1，+∞）上遞增，

當(dāng)a＜0時(shí)，由g（x）＝0解得x1，x2，

易知f（x）分別在（0，x1），（x2，+∞）上遞增，分別在（x1，1），（1，x2）上遞減．

綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）分別在（0，1）和（1，+∞）上遞增，

當(dāng)a＜0時(shí)，分別在（0，x1），（x2，+∞）上遞增，分別在（x1，1），（1，x2）上遞減．

（2）由題意得，，

即，對(duì)任意成立，

令F（x），x＞1，則，x＞1，

令h（x）＝（2﹣x）lnx+x﹣1，h′（x）＝﹣lnx，x＞1

因?yàn)?/span>h′（x）在（1，+∞）上遞減，且h′（1）＝2＞0，當(dāng)x→+∞時(shí)，h′（x）→﹣∞，

所以存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）＝0，且h（x）在（1，x0）上遞增，在（x0，+∞）上遞減，

因?yàn)?/span>h（1）＝0，所以h（x0）＞0，

因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→﹣∞，所以存在x1∈（x0，+∞），使得h（x1）＝0，

且F（x）在（1，x1）上遞增，在（x1，+∞）上遞減，

所以F（x）max＝F（x1），

因?yàn)?/span>h（x1）＝（2﹣x1）lnx1+x1﹣1＝0，所以lnx1，所以F（x1），

因?yàn)?/span>h（4）＝﹣2ln4+3＝ln0，h（5）＝﹣3ln5+4＝ln0，所以x1∈[4，5]，

令Φ（x），x∈[4，5]，易證Φ（x）在區(qū)間[4，5]上遞減，

所以Φ（x）∈[，]，

即F（x）max∈[，]，因?yàn)?/span>a∈Z，所以a的最小值為3．