【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1.將矩形沿對(duì)角線BD折起,使A移到點(diǎn)P,P在平面BCD上的投影O恰好落在CD邊上.
(1)證明:DP⊥平面BCP;
(2)求點(diǎn)O到平面PBD的距離.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由已知可證BC⊥CD,DA⊥AB,由A點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn),可證PD⊥PB,過P點(diǎn)作PO⊥CD,利用PO⊥面BCD,可證BC⊥面PCD,利用線面垂直的性質(zhì)得BC⊥PD,根據(jù)線面垂直的判定定理可證PD⊥面PBC.
(2)連接OB,由(1)可知DP⊥PC,可求PC,可證OP⊥CD,由DCPO=DPPC,解得OP,OC的值,可得S△ODB,設(shè)點(diǎn)O到平面PBD的距離為h,可得S△DPB=S△ABD=1,根據(jù)VP﹣DOB=VO﹣DPB,即可解得h的值.
(1)∵四邊形ABCD為矩形,
∴BC⊥CD,DA⊥AB,
∵A點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn),
∴PD⊥PB,
又∵P點(diǎn)在平面BCD上的射影在CD上,
∴過P點(diǎn)作PO⊥CD,
∴PO⊥面BCD,
∴BC⊥面PCD,可得:BC⊥PD,
∴PD⊥面PBC,
(2)連接OB,由(1)可知DP⊥平面BCP,PC平面BCP,
所以DP⊥PC,
即PC,
由(1)可知OP⊥平面BCD,
而CD平面BCD,
所以OP⊥CD,
由DCPO=DPPC,解得:OP,
所以OC,
可得:OD,BD,sin∠ODB,
可得S△ODBsin∠ODB,
設(shè)點(diǎn)O到平面PBD的距離為h,可得S△DPB=S△ABD=1,
因?yàn)?/span>VP﹣DOB=VO﹣DPB,
所以S△DOBPOS△DPBh,
可得:h,解得h.
即點(diǎn)O到平面PBD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,給出下列命題:
①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn);
②-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn);
③y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增;
④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.
以上正確命題的序號(hào)是( )
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若是的極值點(diǎn),且曲線在兩點(diǎn), 處的切線互相平行,這兩條切線在y軸上的截距分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+|x﹣λ|,其中λ.
(1)若對(duì)任意x∈R,恒有f(x),求λ的最大值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)λ的最大值為t,若正數(shù)m,n滿足m+2n=mnt,求2m+n的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),成立,若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是()
A. aB. C. D. c
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)a∈R時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)對(duì)任意的x∈(1,+∞)均有f(x)<ax,若a∈Z,求a的最小值.
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