Question

關(guān)于數(shù)列有下列命題：
（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=aⁿ-1（a∈R），則{a_n}為等差或等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{a_n}中不會有a_m=a_n（m≠n），
（3）一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N^*），則對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0；
（4）一個等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，則對于任意n∈N^*，都有a_n•a_n+1＜0，
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1），當(dāng)a=0時，a₁=-1，a₂=a₃=…=0，由此可判斷（1）；
（2），利用反證法可判斷（2）正確；
（3），依題意，可得公差d＞0，從而可判斷（3）正確；
（4），個等比數(shù)列{a_n}中，a_k•a_k+1＜0，可知公比q＜0，從而可判斷（4）正確．

解答： 解：對于（1），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=aⁿ-1（a∈R），
當(dāng)a=0時，a₁=-1，a₂=a₃=…=0，{a_n}既不是等差又不是等比數(shù)列，故（1）錯誤；
對于（2），數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{a_n}中不會有a_m=a_n（m≠n），
假設(shè)a_m=a_n（m≠n），則a₁+（m-1）d=a₁+（n-1）d，整理可得m=n，這與m≠n矛盾，
故假設(shè)不成立，原命題正確，即（2）正確；
對于（3），一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N^*），由a_k+1=a_k+d知a_k+d＞a_k＞0，故d＞0，
所以，對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0，（3）正確；
對于（4），一個等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，則qak2＜0，即q＜0，
則對于任意n∈N^*，都有a_n•a_n+1=qan2＜0，正確．
綜上所述，正確命題的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．