Question

如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1．
（Ⅰ）證明：AB⊥BF；
（Ⅱ）求三棱錐E-BMF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,證明題

分析：（Ⅰ）證明AB⊥BF，轉(zhuǎn)化成證明線面垂直，即證AB⊥平面BFC；
（Ⅱ）求三棱錐E-BMF的體積，轉(zhuǎn)化成求三棱錐B-EMF的體積．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，
∴FC⊥平面ABC
∵AB?平面ABC
∴FC⊥AB
又∵AC是直徑，B在圓上，
∴AB⊥BC
∴AB⊥平面BFC
又∵BF?平面BFC
∴AB⊥BF．
（Ⅱ）在△ABC中，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，AC=4，
∴BM=

3

，
三角形EMF的面積S=

1

2

(3+1)×4-

1

2

×3×3-

1

2

×1×1=3
V_E-BMF=V_B-EMF=

1

3

×3×

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面位置關(guān)系的證明及幾何體的體積，證明線線垂直可以轉(zhuǎn)化成證明線面垂直；求三棱錐的體積關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化成易求底面積和高的三棱錐的體積問題．