Question

已知

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）
（1）若x∈[

π

2

，

9π

8

]時(shí)，求f（x）=2

a

•

b

+1的最大值并求出相應(yīng)x值．
（2）若x=

π

6

，求

a

與

c

夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f（x）=2

a

•

b

+1=

2

sin（2x-

π

4

），結(jié)合x∈[

π

2

，

9π

8

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值以及相應(yīng)的x的值．
（2）若x=

π

6

，設(shè)

a

與

c

夾角為θ，再根據(jù)cosθ=

a • c

| a |•| c |

的值，求得

a

與

c

夾角θ的值．

解答： 解：（1）由題意可得f（x）=2

a

•

b

+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
結(jié)合x∈[

π

2

，

9π

8

]，可得2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，故當(dāng)2x-

π

4

=

3π

4

時(shí)，即x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為1．
（2）若x=

π

6

，設(shè)

a

與

c

夾角為θ，則由題意可得|

a

|=|

c

|=1，且

a

•

c

=-cosx=-

3

2

，
再根據(jù)cosθ=

a • c

| a |•| c |

=-

3

2

，θ∈[0，π]，可得θ=

5π

6

，即

a

與

c

夾角為

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．