Question

如圖，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD為等邊三角形，F(xiàn)為ED邊的中點(diǎn)，CD=BD=2AC=2 
（1）求證：CF∥面ABE；
（2）求證：面ABE⊥平面BDE：
（3）求三棱錐F-ABE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BE的中點(diǎn)G，連FG，AG，證明四邊形ACFG為平行四邊形，從而證明CF∥面ABE．（2）證明CF⊥面BDE，從而證明平面ABE⊥平面BDE，（3）找到底面與高求體積．

解答： 解：（1）證明：取BE的中點(diǎn)G，連FG，AG，
則FG∥

1

2

BD，又∵AC∥

1

2

BD，
∴四邊形ACFG為平行四邊形，
∴CF∥AG，又∵CF?面ABE，AG?面ABE；
∴CF∥面ABE．
（2）證明：∵△ECD為等邊三角形，
∴CF⊥ED；
又∵CF⊥BD，
∴CF⊥面BDE，
又∵CF∥AG，
∴AG⊥面BDE，又∵AG?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BDE．
（3）∵CF⊥面BDE，AC∥面BDE，
∴VF-ABE=VA-BEF=VC-BEF=

1

3

•(

1

2

•1•2)•

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的比較全面．用到了平行四邊形說明平行，線面平行判定定理，及線面垂直判定定理及面面垂直判定定理等，屬于中檔題．