Question

定義非零向量

OM

=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

OM

=（a，b）稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，求證：h（x）∈S；
（2）求（1）中函數(shù)h（x）的“相伴向量”模的取值范圍；
（3）已知點M（a，b）滿足條件：a=3且0＜b≤

3

，向量

OM

的“相伴函數(shù)”f（x） 在x=x₀處取得最大值．當(dāng)點M運動時，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）只要將h（x）化為asinx+bcosx即可；
（2）利用向量的模的計算以及三角函數(shù)最值的求法解答；
（3）利用三角函數(shù)求f（x）取最大值時的x值，結(jié)合倍角公式以及直線OM的斜率求tan2x₀的范圍．

解答： 解：（1）證明：∵h(yuǎn)（x）=cos（x+a）+2cosx=-sina•sinx+（2+cosa）cosx，
∴函數(shù)h（x）的相伴向量

OM

=（-sina，2+cosa），
∴h（x）∈S；
（2）|

OM|

=

(sina)2+(2+cosa)2

=

5+4cosa

，
∴cosa=1時，|

OM

|max=

5+4

=3；
cosa=-1時，|

OM

|min=

5-4

=1．
∴|

OM

|的取值范圍為[1，3]．
（3）

OM

的相伴函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

．
當(dāng)x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z時，f（x）取得最大值．
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

，

b

a

為直線OM的斜率，由幾何意義知

b

a

∈（0，

3

3

]，
令m=

b

a

，則tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈（0，

3

3

]，
當(dāng)m∈（0，

3

3

]時，m-

1

m

∈（-∞，-

2 3

3

]，
∴tan2x₀∈[-

3

，0）．

點評：本題考查了向量與三角函數(shù)相結(jié)合的新定義的問題；向量模的計算以及三角函數(shù)最值的求法．