Question

已知函數(shù)f（x）=

x

-

1

x+1

（Ⅰ）寫(xiě)出f（x）的定義域并證明它在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的單調(diào)性定義判定f（x）在定義域上的增減性，基本步驟是一取值，二作差，三判正負(fù)，四下結(jié)論；
（Ⅱ）利用函數(shù)f（x）在定義域上的增減性，求出f（x）的最值，從而得值域．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），
設(shè)0≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（

x1

-

1

x1+1

）-（

x2

-

1

x2+1

）
=

x1

-

x2

+

1

x2+1

-

1

x1+1

=

x1-x2

x1 + x2

+

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

=（x₁-x₂）（

1

x1 + x2

+

1

(x1+1)(x2+1)

）；
∵x₁-x₂＜0，

1

x1 + x2

+

1

(x1+1)(x2+1)

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）∵f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）≥f（0），
又f（0）=

0

-

1

0+1

=-1，
∴f（x）≥-1；
∴f（x）的值域是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了判定函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．