Question

已知a₁=

5

4

，a_n=

5nan-1

4an-1+n-1

（n≥2）．
（1）求證：{

n

an

-1}為等比數(shù)列，并求a_n；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：a₁•a₂…a_n＜

n!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5n

（n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,等比關(guān)系的確定

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，可求得

n

an

-1=

1

5

（

n-1

an-1

-1）（n≥2），易求

1

a1

-1=-

1

5

，于是知{

n

an

-1}是以-

1

5

為首項(xiàng)，

1

5

為公比的等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)，繼而可得a_n；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，易證a₁•a₂=

1

1- 1 51

•

2

1- 1 52

=

2!

(1- 1 51 - 1 52 + 1 53 )

＜

2!

(1- 1 51 - 1 52 )

，②假設(shè)n=k時(shí)，a₁•a₂…a_k＜

k!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k

（k≥2），利用該歸納假設(shè)，取證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可．

解答： 證明：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

5nan-1

4an-1+n-1

，
∴

1

an

=

4an-1+n-1

5nan-1

，
∴

n

an

=

4nan-1+n2-n

5nan-1

=

4

5

+

n-1

5an-1

，
∴

n

an

-1=

n-1

5an-1

-

1

5

=

1

5

（

n-1

an-1

-1）（n≥2），
∴

n an -1

n-1 an-1 -1

=

1

5

，又a₁=

5

4

，

1

a1

-1=-

1

5

，
∴{

n

an

-1}是以-

1

5

為首項(xiàng)，

1

5

為公比的等比數(shù)列，
∴

n

an

-1=（-

1

5

）•(

1

5

)n-1=-(

1

5

)n，
∴a_n=

n

1- 1 5n

．
（2）證明：①當(dāng)n=2時(shí)，a₁•a₂=

1

1- 1 51

•

2

1- 1 52

=

2!

(1- 1 51 - 1 52 + 1 53 )

＜

2!

(1- 1 51 - 1 52 )

，不等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a₁•a₂…a_k＜

k!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k

（k≥2），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a₁•a₂…a_k•a_k+1＜

k!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k

•

k+1

1- 1 5k+1

=

(k+1)!

(1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k )(1- 1 5k+1 )

=

(k+1)!

(1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k - 1 5k+1 + 1 5k+2 +…+ 1 52k+1 )

＜

(k+1)!

(1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k - 1 5k+1 )

，
即n=k+1時(shí)，不等式也成立；
綜合①②知，對(duì)任意n≥2（n∈N^*），不等式a₁•a₂…a_n＜

n!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5n

（n≥2）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查等比數(shù)列的確定與其通項(xiàng)公式的求法，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理論證的能力，屬于難題．