【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足acosB+bcosA=2ccosC.
(1)求角C的大;
(2)若△ABC的周長為3,求△ABC的內(nèi)切圓面積S的最大值.
【答案】(1)C=(2)
【解析】
(1)先根據(jù)正弦定理化邊為角,化簡即得cosC= ,解得結(jié)果,(2)先根據(jù)余弦定理得3+ab=2(a+b),再根據(jù)基本不等式得ab最大值,根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)得內(nèi)切圓半徑為ab,即可求得內(nèi)切圓面積S的最大值.
解:(Ⅰ)因?yàn)?/span>acosB+bcosA=2ccosCsinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,
即sin(A+B)=2sinCcosC,
而sin(A+B)=sinC>0,則cosC=,
又C∈(0,π),
所以C=.
(Ⅱ)令△ABC的內(nèi)切圓半徑為R,有absin=3R,則R=ab,
由余弦定理得a2+b2-ab=(3-a-b)2,化簡得3+ab=2(a+b),
而a+b≥2,故3+ab≥4,解得≥3或≤1.
若≥3,則a,b至少有一個(gè)不小于3,這與△ABC的周長為3矛盾;
若≤1,則當(dāng)a=b=1=c時(shí),R取最大值.
綜上,知△ABC的內(nèi)切圓最大面積值為Smax=π()2=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)斜率為-2的直線交曲線于、兩點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交所得的弦為線段,求的面積的最大值(是坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,,過點(diǎn)作一個(gè)截面,使截面平行于和,則截面的周長為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:①任意兩條直線都可以確定一個(gè)平面;②若兩個(gè)平面有3個(gè)不同的公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合;③直線a,b,c,若a與b共面,b與c共面,則a與c共面;④若直線l上有一點(diǎn)在平面α外,則l在平面α外.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在湖南師大附中的校園歌手大賽決賽中,有6位參賽選手(1號(hào)至6號(hào))登臺(tái)演出,由現(xiàn)場(chǎng)的100位同學(xué)投票選出最受歡迎的歌手,各位同學(xué)須彼此獨(dú)立地在投票器上選出3位侯選人,其中甲同學(xué)是1號(hào)選手的同班同學(xué),必選1號(hào),另在2號(hào)至6號(hào)選手中隨機(jī)選2名;乙同學(xué)不欣賞2號(hào)選手,必不選2號(hào),在其他5位選手中隨機(jī)選出3名;丙同學(xué)對(duì)6位選手的演唱沒有偏愛,因此在1號(hào)至6號(hào)選手中隨機(jī)選出3名.
(1)求同學(xué)甲選中3號(hào)且同學(xué)乙未選中3號(hào)選手的概率;
(2)設(shè)3號(hào)選手得到甲、乙、丙三位同學(xué)的票數(shù)之和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】正方形ABCD的邊長為2,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P滿足,若,其中m、nR,則的最大值是________
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【題目】已知橢圓:, 過點(diǎn)的直線:與橢圓交于M、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方),與軸交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)且時(shí),求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),設(shè),,求證:為定值,并求出該值;
(3)當(dāng)時(shí),點(diǎn)D和點(diǎn)F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,若△MNF的內(nèi)切圓面積等于,求直線的方程.
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【題目】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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【題目】隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠,很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來越大.長沙某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市(總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近)采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià):(單位:元/月)和購買人數(shù)(單位:萬人)的關(guān)系如表:
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(2)①求出關(guān)于的回歸方程;
②若該通信公司在一個(gè)類似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定位25元/ 月,請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測(cè)長沙市一個(gè)月內(nèi)購買該流量包的人數(shù)能否超過20 萬人.
參考數(shù)據(jù):,,.
參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸直線方程,
其中,.
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