Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x≥1時，若關(guān)于x的不等式f（x）≥ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1）上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數(shù)據(jù)e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導數(shù)，可得切線斜率，求出切點的坐標，即可得出切線方程；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明f'（0）•f'（1）＜0，f'（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，可得f'（x）在[0，1]上存在唯一零點，f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點，再利用二分法求出x的近似值．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+2x²-3x，
∴f′（x）=e^x+4x-3，
∴f′（1）=e+1，
∵f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e+1=（e+1）（x-1），即（e+1）x-y-2=0；
（2）x≥1時，不等式f（x）≥ax，可得a≤

ex+2x2-3x

x

，
令g（x）=

ex+2x2-3x

x

，∴g′（x）=

(x-1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a≤e-1；
（3）∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f'（0）•f'（1）＜0
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，
則h'（x）=e^x+4＞0，f'（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零點，f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點．
取區(qū)間[0，1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下

由上表可知區(qū)間[0.3，0.6]的長度為0.3，所以該區(qū)間的中點x2=0.45，到區(qū)間端點的距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2一個極值點的相應x的值
∴函數(shù)y=f（x）取得極值時，相應x≈0.45．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值與零點，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．