【題目】如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點(diǎn),為的中點(diǎn),在線段上,且。將沿折起,使點(diǎn)到的位置(如圖2所示),且。
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)要證明線面平行,需證明線線平行,取的中點(diǎn),連接,根據(jù)條件證明,即;
(2)以為原點(diǎn),所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求兩個(gè)平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.
(1)證明:取的中點(diǎn),連接.
∵,∴為的中點(diǎn).
又為的中點(diǎn),∴.
依題意可知,則四邊形為平行四邊形,
∴,從而.
又平面,平面,
∴平面.
(2),且,
平面,平面,
,
,且,
平面,
以為原點(diǎn),所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),
則,,,,,
,,,.
設(shè)平面的法向量為,
則,即,
令,得.
設(shè)平面的法向量為,
則,即,
令,得.
從而,
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應(yīng)關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯(cuò)誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若對任意的,均有,求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系中,弧所在圓的圓心分別為,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧.
(1)分別寫出的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,點(diǎn)在上,且.
(1)點(diǎn)在上,,求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)關(guān)于的不等式的解集為,求的值;
(2)若函數(shù)的圖象與軸圍成圖形的面積不小于50,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司訂購了一批樹苗,為了檢測這批樹苗是否合格,從中隨機(jī)抽測株樹苗的高度,經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖,其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示,以這株樹苗的高度的頻率估計(jì)整批樹苗高度的概率.
(1)求這批樹苗的高度于米的概率,并求圖中的值;
(2)若從這批樹苗中隨機(jī)選取株,記為高度在的樹苗數(shù)量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布,則認(rèn)為這批樹苗是合格的,將順利被簽收,否則,公司將拒絕簽收.試問:該批樹苗是否被簽收?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(,,為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)當(dāng),時(shí),對任意的都有成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為抗擊新型冠狀病毒,普及防護(hù)知識,某校開展了“疫情防護(hù)”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組:,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值,并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(2)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”,比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計(jì) | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù):.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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