【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若對任意的,均有,求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;(2)
【解析】
(1)求導(dǎo)后取出極值點,再分,兩種情況進行討論即可.
(2)當時得出的一個取值范圍,再討論時的情況,再對時構(gòu)造函數(shù)兩邊取對數(shù)進行分析論證時恒成立.
(1)由,解得.
①若,則當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞增;
當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞減.
②若,則當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞增;
當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞減.
綜上所述,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.
(2),即.
令,得,則.
當時,不等式顯然成立,
當時,兩邊取對數(shù),即恒成立.
令函數(shù),即在內(nèi)恒成立.
由,得.
故當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減.
因此.
令函數(shù),其中,
則,得,
故當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.
又,,
故當時,恒成立,因此恒成立,
即當時,對任意的,均有成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,.求的最大值;
(2)若函數(shù)有且只有一個零點,且滿足條件的,使不等式恒成立,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,點,點,動圓與軸相切于點,過點的直線與圓相切于點,過點的直線與圓相切于點(均不同于點),且與交于點,設(shè)點的軌跡為曲線.
(1)證明:為定值,并求的方程;
(2)設(shè)直線與的另一個交點為,直線與交于兩點,當三點共線時,求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東京夏季奧運會推遲至2021年7月23日至8月8日舉行,此次奧運會將設(shè)置4 100米男女混泳接力賽這一新的比賽項目,比賽的規(guī)則是:每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參加比賽,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力順序,每種泳姿100米且由1名運動員完成,且每名運動員都要出場.若中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單,其中女運動員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳,男運動員乙只能承擔(dān)蝶泳或者蛙泳,剩下2名運動員四種泳姿都可以承擔(dān),則中國隊參賽的安排共有( )
A.144種B.8種C.24種D.12種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a=2,_______,求△ABC的周長l的范圍.
在①(﹣cos,sin),(cos,sin),且,②cosA(2b﹣c)=acosC,③f(x)=cosxcos(x),f(A)
注:這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并對其進行求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)滿足:對任何,都有,且當時,.在下列結(jié)論:
(1)對任何,都有;(2)任意,都有;
(3)函數(shù)的值域是;
(4)“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在,使得”.
其中正確命題是( )
A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖兩個同心球,球心均為點,其中大球與小球的表面積之比為3:1,線段與是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦,其中兩點在小球上,兩點在大球上,兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當四面體的體積達到最大值時,此時異面直線與的夾角為,則( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點,為的中點,在線段上,且。將沿折起,使點到的位置(如圖2所示),且。
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是兩個非零平面向量,則有:
①若,則
②若,則
③若,則存在實數(shù),使得
④若存在實數(shù),使得,則或四個命題中真命題的序號為 __________.(填寫所有真命題的序號)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所給的結(jié)論:
①若,則,據(jù)此有:,說法①正確;
②若,取,則,
而,說法②錯誤;
③若,則,據(jù)此有:,
由平面向量數(shù)量積的定義有:,
則向量反向,故存在實數(shù),使得,說法③正確;
④若存在實數(shù),使得,則向量與向量共線,
此時,,
若題中所給的命題正確,則,
該結(jié)論明顯成立.即說法④正確;
綜上可得:真命題的序號為①③④.
點睛:處理兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標運算;利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇,同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】已知在中,,且.
(1)求角的大小;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,前項和為,若,求的值.
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