Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，求的值；

（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）點(diǎn)的切線的方程為，將代入切線方程可得結(jié)果；（2）兩已知函數(shù)有交點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，

故直線的斜率為，

點(diǎn)的切線的方程為，

因直線過(guò)，

所以，

即

解之得，

（2）令，所以，

設(shè)，則，

因函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點(diǎn)，

設(shè)為在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，

由，

所以在和上不可能單增，也不可能單減，

所以在和上均存在零點(diǎn)，

即在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)， ， 在上遞增， 不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ， 在上遞減， 不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，得，

∴在上遞減，在上遞增，

所以

設(shè)，則，

令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 遞增，

當(dāng)時(shí)， ， 遞減，

所以，

∴恒成立，

若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有， ， ，

由， ，得，

當(dāng)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則在遞增，在遞減，在遞增，

∴， ，

所以在內(nèi)有零點(diǎn)，

即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.