Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）設(shè)過點的直線與曲線相切于點，求的值；

（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）點的切線的方程為，將代入切線方程可得結(jié)果；（2）兩已知函數(shù)有交點等價于函數(shù)有零點，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用零點存在性定理可得結(jié)果.

試題解析：（1）因為函數(shù)，所以，

故直線的斜率為，

點的切線的方程為，

因直線過，

所以，

即

解之得，

（2）令，所以，

設(shè)，則，

因函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點，

設(shè)為在內(nèi)的一個零點，

由，

所以在和上不可能單增，也不可能單減，

所以在和上均存在零點，

即在上至少有兩個零點，

當時， ， 在上遞增， 不可能有兩個及以上零點；

當時， ， 在上遞減， 不可能有兩個及以上零點；

當時，令，得，

∴在上遞減，在上遞增，

所以

設(shè)，則，

令，得，

當時， ， 遞增，

當時， ， 遞減，

所以，

∴恒成立，

若有兩個零點，則有， ， ，

由， ，得，

當，設(shè)的兩個零點為，則在遞增，在遞減，在遞增，

∴， ，

所以在內(nèi)有零點，

即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.