【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論
的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ) 求出,分三種情況討論,分別令
得增區(qū)間,
得減區(qū)間;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
在
上遞增,
上遞減,
上遞增,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在定理,可判定函數(shù)在
,
,
上各有一個(gè)零點(diǎn),即可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ) .
①當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
.當(dāng)
時(shí),
.∴
在
遞增
②當(dāng)時(shí),令
,得
,此時(shí)
.
易知在
遞增,
遞減,
遞增
③當(dāng)時(shí),
.易知
在
遞增,
遞減,
遞增
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知在
上遞增,
上遞減,
上遞增,
且,將
代入
,
得
∵,∴
.
下面證明 當(dāng)時(shí)存在
,使
.
首先,由不等式,∴
,∴
,∴
.
考慮到,
∴
.
再令,可解出一個(gè)根為
,
∵,∴
,∴
,就取
.
則有.由零點(diǎn)存在定理及函數(shù)
在
上的單調(diào)性,可知
在
上有唯一的一個(gè)零點(diǎn).
由,及
的單調(diào)性,可知
在
上有唯一零點(diǎn).
下面證明在上,存在
,使
,就取
,則
,
∴,
由不等式,則
,即
.
根據(jù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性知在
上有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知, 當(dāng)
時(shí),共有3個(gè)零點(diǎn).
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、以及零點(diǎn)存在性定理,屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟:①確定函數(shù)
的定義域;②對(duì)
求導(dǎo);③令
,解不等式得
的范圍就是遞增區(qū)間;令
,解不等式得
的范圍就是遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下:對(duì)任意的 ,令
⊙
=mq-np,下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.若 與
共線,則
⊙
=0
B. ⊙
=
⊙
C.對(duì)任意的λ∈R,有 ⊙
=
⊙
)
D.( ⊙
)2+(
)2=|
|2|
|2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地的一角
開辟為水果園,已知角
為
,
的長(zhǎng)度均大于200米,現(xiàn)在邊界
處建圍墻,在
處圍竹籬笆.
(1)若圍墻、
總長(zhǎng)度為200米,如何可使得三角形地塊
面積最大?
(2)已知竹籬笆長(zhǎng)為米,
段圍墻高1米,
段圍墻高2米,造價(jià)均為每平方米100元,若
,求圍墻總造價(jià)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是圓
上的任意一點(diǎn),點(diǎn)
為圓
的圓心,點(diǎn)
與點(diǎn)
關(guān)于平面直角系的坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,線段
的垂直平分線與線段
交于點(diǎn)
.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)若軌跡與
軸正半軸交于點(diǎn)
,直線
交軌跡
于
兩點(diǎn),求
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線
與曲線
相切于點(diǎn)
,求
的值;
(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)
的圖象在
內(nèi)有交點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)
都有
成立,且
.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,設(shè)
:當(dāng)
時(shí),不等式
恒成立;Q:當(dāng)
時(shí),
是單調(diào)函數(shù)。如果滿足
成立的
的集合記為
,滿足Q成立的
的集合記為
,求A∩(CRB)(
為全集).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列命題:
①在函數(shù)的圖象中,相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為
;②函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱;③“
且
”是“
”的必要不充分條件;④已知命題
:對(duì)任意的
,都有
,則
是:存在
,使得
;⑤在
中,若
,
,則角
等于
或
.其中所有真命題的個(gè)數(shù)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程是
,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出直線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換
得到曲線
,若點(diǎn)
,直線
與
交與
,
,求
,
.
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