【題目】設函數.
(Ⅰ)討論的單調性;
(Ⅱ)當時,討論
的零點個數.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ) 求出,分三種情況討論,分別令
得增區(qū)間,
得減區(qū)間;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
在
上遞增,
上遞減,
上遞增,利用導數研究函數的單調性,結合零點存在定理,可判定函數在
,
,
上各有一個零點,即可得結果.
試題解析:(Ⅰ) .
①當時,
,當
時,
,
當時,
.當
時,
.∴
在
遞增
②當時,令
,得
,此時
.
易知在
遞增,
遞減,
遞增
③當時,
.易知
在
遞增,
遞減,
遞增
(Ⅱ)當時,由(Ⅰ)知在
上遞增,
上遞減,
上遞增,
且,將
代入
,
得
∵,∴
.
下面證明 當時存在
,使
.
首先,由不等式,∴
,∴
,∴
.
考慮到,
∴
.
再令,可解出一個根為
,
∵,∴
,∴
,就取
.
則有.由零點存在定理及函數
在
上的單調性,可知
在
上有唯一的一個零點.
由,及
的單調性,可知
在
上有唯一零點.
下面證明在上,存在
,使
,就取
,則
,
∴,
由不等式,則
,即
.
根據零點存在定理及函數單調性知在
上有一個零點.
綜上可知, 當
時,共有3個零點.
【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、以及零點存在性定理,屬于難題.利用導數研究函數的單調性的步驟:①確定函數
的定義域;②對
求導;③令
,解不等式得
的范圍就是遞增區(qū)間;令
,解不等式得
的范圍就是遞減區(qū)間.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下:對任意的 ,令
⊙
=mq-np,下面說法錯誤的是( )
A.若 與
共線,則
⊙
=0
B. ⊙
=
⊙
C.對任意的λ∈R,有 ⊙
=
⊙
)
D.( ⊙
)2+(
)2=|
|2|
|2
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地的一角
開辟為水果園,已知角
為
,
的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界
處建圍墻,在
處圍竹籬笆.
(1)若圍墻、
總長度為200米,如何可使得三角形地塊
面積最大?
(2)已知竹籬笆長為米,
段圍墻高1米,
段圍墻高2米,造價均為每平方米100元,若
,求圍墻總造價的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點是圓
上的任意一點,點
為圓
的圓心,點
與點
關于平面直角系的坐標原點對稱,線段
的垂直平分線與線段
交于點
.
(1)求動點的軌跡
的方程;
(2)若軌跡與
軸正半軸交于點
,直線
交軌跡
于
兩點,求
面積的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數對一切實數
都有
成立,且
.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,設
:當
時,不等式
恒成立;Q:當
時,
是單調函數。如果滿足
成立的
的集合記為
,滿足Q成立的
的集合記為
,求A∩(CRB)(
為全集).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】有下列命題:
①在函數的圖象中,相鄰兩個對稱中心的距離為
;②函數
的圖象關于點
對稱;③“
且
”是“
”的必要不充分條件;④已知命題
:對任意的
,都有
,則
是:存在
,使得
;⑤在
中,若
,
,則角
等于
或
.其中所有真命題的個數是__________.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知曲線的極坐標方程是
,以極點為原點,極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線
的參數方程為
(
為參數).
(Ⅰ)寫出直線的普通方程與曲線
的直角坐標方程;
(Ⅱ)設曲線經過伸縮變換
得到曲線
,若點
,直線
與
交與
,
,求
,
.
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