Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線：上的一點(diǎn)，其焦點(diǎn)為點(diǎn)，且拋物線在點(diǎn)處的切線交圓：于不同的兩點(diǎn)，.

（1）若點(diǎn)，求的值；

（2）設(shè)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，焦點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出過點(diǎn)的拋物線的切線，切線與圓相交，根據(jù)弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的關(guān)系求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立切線與圓的方程消元可得一元二次方程，由韋達(dá)定理求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式表示出，令換元，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出取值范圍.

設(shè)點(diǎn)，其中.

因?yàn)?/span>，所以切線的斜率為，于是切線：.

（1）因?yàn)?/span>，于是切線：.

故圓心到切線的距離為.

于是.

（2）聯(lián)立得.

設(shè)，，.則，.

解得

又，于是.

于是，.

又的焦點(diǎn)，于是.

故.

令，則.于是.

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以的取值范圍為.