【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”．

（1）試寫(xiě)出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)；

（2）設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”，問(wèn)是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”，為其前項(xiàng)的和，試證明：．

【答案】（1）、、（答案不唯一）；（2）存在，且的最小值為；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義得出，由，可得出，然后對(duì)取一個(gè)大于的值，可得出一個(gè)符合條件的“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)；

（2）由題意得出，且，利用基本不等式可求出的最小值；

（3）由可推出，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由此得出，、、、，然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.

（1）由于數(shù)列為“比差等數(shù)列”，則，可得.

由于數(shù)列每項(xiàng)都是正數(shù)，則，可得出.

若，則，.

因此，“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)可以是、、（答案不唯一）；

（2）由（1）可知，，則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，有最小值；

（3）由題意可得.

由于雙勾函數(shù)在上是增函數(shù)，

，，且，則，

同理可得.

猜想，當(dāng)時(shí)，.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即；

那么當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，

且，

所以，.

由歸納原理可知，當(dāng)時(shí)，.

于是有，、、、，

將上述不等式全部相加得.

因此，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖1，在平面四邊形中，，現(xiàn)將沿四邊形的對(duì)角線折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，如圖2，這時(shí)平面平面.

（1）求直線與平面所成角的正切值；

（2）求二面角的正切值.

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【題目】某公司為了應(yīng)對(duì)金融危機(jī)，決定適當(dāng)進(jìn)行裁員，已知這家公司現(xiàn)有職工人（，且為10的整數(shù)倍），每人每年可創(chuàng)利100千元，據(jù)測(cè)算，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前的提下，若裁員人數(shù)不超過(guò)現(xiàn)有人數(shù)的30%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利1千元（即若裁員人，留崗員工可多創(chuàng)利潤(rùn)千元）；若裁員人數(shù)超過(guò)現(xiàn)有人數(shù)的30%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利2千元（即若裁員人，留崗員工可多創(chuàng)利潤(rùn)千元），為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的50%，為了保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費(fèi).

（1）設(shè)公司裁員人數(shù)為，寫(xiě)出公司獲得的經(jīng)濟(jì)效益（千元）關(guān)于的函數(shù)（經(jīng)濟(jì)效益=在職人員創(chuàng)利總額—被裁員工生活費(fèi)）；

（2）為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)．新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升，小于毫克/百毫升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升為醉酒駕車．經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如下圖，該函數(shù)近似模型如下：．

又已知?jiǎng)偤眠^(guò)1小時(shí)時(shí)測(cè)得酒精含量值為毫克/百毫升．根據(jù)上述條件，解答以下問(wèn)題：

（1）試計(jì)算喝1瓶啤酒多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是多少？

（2）試計(jì)算喝1瓶啤酒后多少小時(shí)后才可以駕車？（時(shí)間以整分鐘計(jì)算）

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【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長(zhǎng)均為30千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)度差異）．

（1）當(dāng)9列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí)，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；

（2）新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時(shí)，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時(shí)．現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1分鐘，向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行？

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【題目】給定數(shù)列，記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，即，該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為，記，；

（1）對(duì)于數(shù)列：3，4，7，1，求出相應(yīng)的，，；

（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，有，其中為實(shí)數(shù)，且，.

（�。┰O(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列對(duì)應(yīng)的滿足對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（1）已知，并且對(duì)任意的恒成立，試求的通項(xiàng)公式．

（2）若為有理數(shù)列，試證明：對(duì)任意的，恒成立的充要條件為．

（3）已知，，對(duì)任意的，恒成立，試計(jì)算．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）若，求的所有可能的值；

（3）求函數(shù)（為正常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】張軍自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家干果店，銷售的干果中有松子、開(kāi)心果、腰果、核桃，價(jià)格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，為增加銷量，張軍對(duì)這四種干果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買干果的總價(jià)達(dá)到150元，顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，張軍會(huì)得到支付款的80%.

①若顧客一次購(gòu)買松子和腰果各1千克，需要支付180元，則x=________；

②在促銷活動(dòng)中，為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_____.

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