【題目】如圖1,在平面四邊形中,,現(xiàn)將沿四邊形的對角線折起,使點運動到點,如圖2,這時平面平面.

(1)求直線與平面所成角的正切值;

(2)求二面角的正切值.

【答案】(1);(2)2.

【解析】

解法一:(幾何方法)

1)過做垂線,垂足為,連接,通過線面垂直的證明得到在平面內(nèi)射影為,再根據(jù)長度關(guān)系計算出的值即為直線與平面所成角的正切值;

(2)利用中點,過點,垂足為,連接,通過證明得到二面角的平面角為,再計算出的值即為二面角的正切值;

解法二:(向量方法)

1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求解出平面的法向量并計算出線面角的正弦,由此可計算出線面角的正切值;

(2)計算出平面的法向量和平面的法向量,根據(jù)兩個向量的余弦值計算出二面角的余弦值,即可求解出二面角的正切值.

解法一:(1),

,為正三角形,

過點做垂線,垂足為,連接,

平面平面,為交線,

平面,

在平面內(nèi)射影,

就是直線與平面所成角,

在直角三角形中,,,

,,

設(shè)中點,連接,易知,

中點,

在直角三角形中,,

,

平面,且平面,

,

直線與平面所成角的正切值為.

(2)平面平面,為交線,且,

平面,

過點,垂足為,連接,

,,

平面

,

就是二面角的平面角,

在直角三角形中,,

,

二面角的正切值為2.

解法二:

為正三角形,

設(shè)中點,則,

在平面內(nèi),過點作垂直于的直線.

平面平面,

為坐標(biāo)原點,軸,軸,直線軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

由平面幾何知識,易得,,

(1)

平面,

可取為平面的法向量.

設(shè)直線與平面所成的角為

直線與平面所成的正切值為.

(2)設(shè)平面的法向量為.

,

,即,

,得,

平面的法向量為,

,

,

二面角的正切值為2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校共有學(xué)生2000人,其中男生1100人,女生900人為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均課外閱讀時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均課外閱讀時間(單位:小時)

1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?

2)如圖,根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均課外閱讀時間的頻率分布直方圖,其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為.若在樣本數(shù)據(jù)中有38名女學(xué)生平均每周課外閱讀時間超過2小時,請完成每周平均課外閱讀時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均課外閱讀時間與性別有關(guān)”.

男生

女生

總計

每周平均課外閱讀時間不超過2小時

每周平均課外閱讀時間超過2小時

總計

附:

0.100

0.050

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)的值域為,求a的取值范圍.

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【題目】如圖,在矩形中,,,點是邊上一點,且,點的中點,將沿著折起,使點運動到點處,且滿足.

1)證明:平面;

2)求二面角的余弦值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度.已知曲線,過點的直線的參數(shù)方程為.直線與曲線分別交于、

(1)求的取值范圍;

(2)若、成等比數(shù)列,求實數(shù)的值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓)的左右兩個焦點分別是、在橢圓上運動.

1)若對有最大值為120°,求出的關(guān)系式;

2)若點是在橢圓上位于第一象限的點,過點作直線的垂線,過作直線的垂線,若直線、的交點在橢圓上,求點的坐標(biāo);

3)若設(shè),在(2)成立的條件下,試求出、兩點間距離的函數(shù),并求出的值域.

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【題目】數(shù)列的前1,37,,)組成集合,從集合中任取)個數(shù),其所有可能的個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如:當(dāng)時,,;時,,,.

1)當(dāng)時,求,,的值;

2)證明:時集合時集合(為以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,);

3)試求(用表示).

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1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;

2)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

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【題目】若正項數(shù)列滿足:,則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.

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3)已知數(shù)列是一個“比差等數(shù)列”,為其前項的和,試證明:

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