Question

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知 =2，cosB= ，b=3，求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B﹣C）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =2，cosB= ，

∴cacosB=2，即ac=6①，

∵b=3，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，

∴a2+c2=13②，

聯(lián)立①②得：a=3，c=2；

（2）解：在△ABC中，sinB= = = ，

由正弦定理 = 得：sinC= sinB= × = ，

∵a=b＞c，∴C為銳角，

∴cosC= = = ，

則cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC= × + × =

【解析】（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡 =2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出ac的值；（2）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；余弦定理:;;才能正確解答此題．