已知數(shù)列滿足．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足．證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
（3）證明：．

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，就是證明為一個(gè)常數(shù). 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/07/3/1w1yh2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以，所以,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 則,即,；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，就是要證明為一個(gè)常數(shù)．首先化簡(jiǎn)等式，即，所以，這實(shí)質(zhì)是，因此作差消去得：，再作差消去常數(shù)得：，，即；（3）證明數(shù)列不等式，一般有兩個(gè)思路，一是求和，二是放縮.本題由于通項(xiàng)不適宜求和，所以嘗試放縮，即利用變量分離進(jìn)行放縮，由，得.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/07/3/1w1yh2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,且,
所以,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.  2分
則,即,.  3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dc/9/g8q2i.png" style="vertical-align:middle;" />所以.   4分
所以    ①
 ②      6分
②-①,得  
即   ③
   ④  8分
④-③,得,
即
得, 10分
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
(3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/11/a/r1rwg.png" style="vertical-align:middle;" />, 11分
所以. 12分
考點(diǎn)：用定義證明等差數(shù)列、等比數(shù)列，放縮法證明數(shù)列不等式

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0．?dāng)?shù)列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列，滿足，，，．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，()，使得，，成等差數(shù)列？若存在，試用表示，；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項(xiàng)數(shù)）：第一行是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個(gè)數(shù)是其肩上兩個(gè)數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個(gè)數(shù)．
求第2行和第3行的通項(xiàng)公式和；
證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求關(guān)于（）的表達(dá)式；
（3）若，，試求一個(gè)等比數(shù)列，使得，且對(duì)于任意的，均存在實(shí)數(shù)?，當(dāng)時(shí)，都有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

等差數(shù)列中，
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足（為常數(shù)，）
（１）當(dāng)時(shí)，求；
（２）當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）問(wèn)：使恒成立的常數(shù)是否存在？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在數(shù)列中，已知，（.
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及它的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，對(duì)任意的，、、成等比數(shù)列，公比為；、、成等差數(shù)列，公差為，且．
（1）寫(xiě)出數(shù)列的前四項(xiàng)；
（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

正實(shí)數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,且{}成等差數(shù)列.
(1)證明:數(shù)列{an}中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù);
(2)當(dāng)n為何值時(shí),an為整數(shù)?并求出使an<200的所有整數(shù)項(xiàng)的和.

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