已知數(shù)列滿足.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足.證明:數(shù)列是等差數(shù)列.
(3)證明:.
(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,就是證明為一個(gè)常數(shù). 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/07/3/1w1yh2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,所以,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 則,即,;(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列,就是要證明為一個(gè)常數(shù).首先化簡(jiǎn)等式,即,所以,這實(shí)質(zhì)是,因此作差消去得:,再作差消去常數(shù)得:,,即;(3)證明數(shù)列不等式,一般有兩個(gè)思路,一是求和,二是放縮.本題由于通項(xiàng)不適宜求和,所以嘗試放縮,即利用變量分離進(jìn)行放縮,由,得.
試題解析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/07/3/1w1yh2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,且,
所以,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 2分
則,即,. 3分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/dc/9/g8q2i.png" style="vertical-align:middle;" />所以. 4分
所以 ①
② 6分
②-①,得
即 ③
④ 8分
④-③,得,
即
得, 10分
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/11/a/r1rwg.png" style="vertical-align:middle;" />, 11分
所以. 12分
考點(diǎn):用定義證明等差數(shù)列、等比數(shù)列,放縮法證明數(shù)列不等式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列{an}滿足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.?dāng)?shù)列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列,滿足,,,.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,對(duì)于任意給定的正整數(shù),是否存在正整數(shù),(),使得,,成等差數(shù)列?若存在,試用表示,;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成(如圖:其中項(xiàng)數(shù)):第一行是以4為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,從第二行起,每一個(gè)數(shù)是其肩上兩個(gè)數(shù)的和,例如:;為數(shù)表中第行的第個(gè)數(shù).
求第2行和第3行的通項(xiàng)公式和;
證明:數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列,并求關(guān)于()的表達(dá)式;
(3)若,,試求一個(gè)等比數(shù)列,使得,且對(duì)于任意的,均存在實(shí)數(shù)?,當(dāng)時(shí),都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足(為常數(shù),)
(1)當(dāng)時(shí),求;
(2)當(dāng)時(shí),求的值;
(3)問(wèn):使恒成立的常數(shù)是否存在?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在數(shù)列中,已知,(.
(1)求證:是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及它的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,,對(duì)任意的,、、成等比數(shù)列,公比為;、、成等差數(shù)列,公差為,且.
(1)寫(xiě)出數(shù)列的前四項(xiàng);
(2)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
正實(shí)數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,且{}成等差數(shù)列.
(1)證明:數(shù)列{an}中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù);
(2)當(dāng)n為何值時(shí),an為整數(shù)?并求出使an<200的所有整數(shù)項(xiàng)的和.
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