【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線，直線的斜率分別為.

（i）證明：；

（ii）若，設(shè)直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，證明：為定值.

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析；

【解析】

（1）設(shè)漸近線與橢圓交點(diǎn)為，根據(jù)到原點(diǎn)的距離和在橢圓上可得到關(guān)于的方程，結(jié)合離心率即可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可假設(shè)坐標(biāo)；

（i）利用在橢圓上，滿足橢圓方程，代入中化簡(jiǎn)整理可得結(jié)論；

（ii）求得后，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用可得到所求定值.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知：，…①，

雙曲線的漸近線方程為，

可設(shè)雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，

，解得：.

在橢圓上，，即：…②，

由①②解得：，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）由題意知：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可設(shè)，，.

（i）點(diǎn)在橢圓上，，，

，，

.

（ii）不妨設(shè)，，

，，，，

直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，

直線，，

由得：，，

由得：，，

，即，

為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.2015年﹣2019年我國(guó)糧食年產(chǎn)量相對(duì)穩(wěn)定

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（Ⅱ）求直線l的斜率k的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，，求的取值范圍.

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完成以下問題：

（Ⅰ）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；

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證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

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