Question

【題目】已知橢圓離心率為，四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線與橢圓C交于P，Q均在第一象限，直線OP，OQ的斜率分別為，，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.證明：直線l的斜率k為定值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率與四邊形面積,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)兩個交點(diǎn)P,Q,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去可得關(guān)于的一元二次方程.因為兩個交點(diǎn),所以判別式,并用韋達(dá)定理表示出.由直線方程和的關(guān)系表示出.進(jìn)而表示出,代入等式中.即可求得斜率的值.

（1）由題意得,,

又,

解得,

所以橢圓C的方程為；

（2）證明：直線l的方程為,點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為,,

由,消去y得,

,

則,,

所以,

因為,

所以,

即,又,

所以,

又結(jié)合圖象可知,,

所以直線l的斜率k為定值