Question

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上單調(diào)遞減，在[c，b]上單調(diào)遞增，則稱f（x）為[a，b]上單谷函數(shù)，c為谷點(diǎn)．
（1）已知m∈R，判斷函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx是否為區(qū)間[0，2]上的單谷函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f_n（x）（n∈N^*且n≥2）的導(dǎo)函數(shù)f′_n=xⁿ+…+x²+x+3•（

2

3

）ⁿ-2．
①證明：f_n（x）為區(qū)間[0，

2

3

]上的單谷函數(shù)：
②記函數(shù)f_n（x）在區(qū)間[0，

2

3

]上的峰點(diǎn)為x_n，證明：x_n+1＞x_n．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)單谷函數(shù)的定義加以證明，注意對(duì)m的取值討論；
（2）記g_n（x）=

f

′ n

(x)=xn+…+x2+x+3•(

2

3

)n-2，利用導(dǎo)數(shù)證明g_n（x）的單調(diào)性，
然后根據(jù)單谷函數(shù)的定義證明f_n（x）為區(qū)間[0，

2

3

]上的單谷函數(shù)及證明x_n+1＞x_n成立．

解答： 解：（1）∵f′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），--------------1分
∴當(dāng)m≤0時(shí)，x∈（0，1）有f′（x）＜0，故f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，x∈（1，2）有f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx在區(qū)間[0，2]上的單谷函數(shù)；-------------------------2分
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，x∈（0，m）有f′（x）＞0，f（x）在[0，m]上單調(diào)遞增，∴f（x）不是區(qū)間[0，2]上的單谷函數(shù)；
當(dāng)m＞1時(shí)，x∈（0，1）有f′（x）＞0，故f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）不是區(qū)間[0，2]上單谷函數(shù)；-----------------------------------------3分
綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）是區(qū)間[0，2]上的單谷函數(shù)；
m＞0時(shí)，f（x）不是區(qū)間[0，2]上的單谷函數(shù)；-----------------------------4分
（2）①證明：記g_n（x）=

f

′ n

(x)=xn+…+x2+x+3•(

2

3

)n-2，
∴

g

′ n

(x)=nx^n-1+…+2x+1，---------------------------------5分
當(dāng)x∈（0，

2

3

）時(shí)，

g

′ n

(x)＞0，∴函數(shù)

f

′ n

(x)在區(qū)間[0，

2

3

]上單調(diào)遞增，--------------------6分
又∵

f

′ n

(0)=3(

2

3

)n-2，且n≥2時(shí)，(

2

3

)n≤

4

9

，∴

f

′ n

(0)＜0，

f

′ n

(

2

3

)=

2

3

+…+(

2

3

)n+3(

2

3

)n-2=

2 3 (1-( 2 3 )n)

1- 2 3

+3(

2

3

)n-2=(

2

3

)n＞0，----------8分
∴函數(shù)

f

′ n

(x)在區(qū)間（0，

2

3

）上存在唯一的零點(diǎn)，記為x_n，
∴x∈（0，x_n）有

f

′ n

(0)＜0，即f_n（x）在區(qū)間[0，x_n]上單調(diào)遞減；
x∈（x_n，

2

3

）有

f

′ n

(0)＞0，即f_n（x）在區(qū)間[x_n，

2

3

]上單調(diào)遞增；
∴n≥2，f_n（x）是區(qū)間[0，

2

3

]上的單谷函數(shù)，--------------------------10分
②證明：

f

′ n

(x)=xn+…+x2+x+3•(

2

3

)n-2，
∴

f

′ n+1

(xn)=

x

n+1 n

+

x

n n

+…+

x

2 n

+x_n+3(

2

3

)n+1-2  （i）-----------------------11分
由

f

′ n

(xn)=0可得；

x

n n

+…+

x

2 n

+x_n=2-3(

2

3

)n，代入（i）得

f

′ n+1

(xn)=

x

n+1 n

+（2-3(

2

3

)n）+3(

2

3

)n+1-2，
即

f

′ n+1

(xn)=

x

n+1 n

-(

2

3

)n，------------------------------------------12分
∵x_n∈（0，

2

3

），∴

x

n+1 n

＜

x

n n

＜(

2

3

)n，
∴

f

′ n+1

(xn)＜0，又∵

f

′ n+1

(xn+1)=0，
∴

f

′ n+1

(xn)＜

f

′ n+1

(xn+1)，由①知

f

′ n+1

(xn)單調(diào)遞增，
∴x_n+1＞x_n．-----------------------------------------------------14分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等知識(shí)，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，
同時(shí)也考查分類討論數(shù)學(xué)，函數(shù)與方程數(shù)學(xué)劃歸與轉(zhuǎn)化思想．