已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=
1
4
x2的焦點，離心率為
2
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，由已知條件推導(dǎo)出b=1，
c
a
=
a2-b2
a2
=
2
5
5
，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入方程
x2
5
+y2=1，得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出λ1+λ2的值．
解答： （Ⅰ）解：設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），
拋物線方程化為x2=4y，其焦點為（0，1），…（2分）
則橢圓C的一個頂點為（0，1），即b=1，
由e=
c
a
=
a2-b2
a2
=
2
5
5
，解得a2=5，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
5
+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：∵橢圓C的方程為
x2
5
+y2=1，
∴橢圓C的右焦點F（2，0），…（6分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入方程
x2
5
+y2=1，
并整理，得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0，…（7分）
∴x1+x2=
20k2
1+5k2
，x1x2=
20k2-5
1+5k2
，…（8分）
又
MA
=(x1，y1-y0)，
MB
=(x2，y2-y0)，
AF
=(2-x1，-y1)，
BF
=(2-x2，-y2)，
而
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，
即（x1-0，y1-y0）=λ1（2-x1，-y1），（x2-0，y2-y0）=λ2（2-x2，-y2），
∴λ1=
x1
2-x1
，λ2=
x2
2-x2
，…（10分）
∴λ1+λ2=
x1
2-x1
+
x2
2-x2
=
2(x1+x2)-2x1x2
4-2(x1+x2)+x1x2
=-10．…（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”，如果數(shù)列{an}不具有“P性質(zhì)”，只要存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn}，且{bn}同時滿足下面兩個條件：①b1，b2，b3，…bn是a1，a2，a3，…，an的一個排列；②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”，下面三個數(shù)列：①數(shù)列1，2，3，4，5；②數(shù)列1，2，3，…，11，12；③數(shù)列{an}的前n項和為Sn=
n
3
（n2-1）．其中具有“P性質(zhì)”或“變換P性質(zhì)”的有（　�。�
A、③B、①③C、①②D、①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式組
x+2y-4≥0
x-y-4≤0
y≤a
所表示的平面區(qū)域的面積等于6，則a的值為（　　）
A、1
B、
2
C、2
D、3

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已知f（x）=cos2x+4sinx．
（Ⅰ）求f′（-
π
4
）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值以及取得最大值時x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上單調(diào)遞減，在[c，b]上單調(diào)遞增，則稱f（x）為[a，b]上單谷函數(shù)，c為谷點．
（1）已知m∈R，判斷函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
m+1
2
x2+mx是否為區(qū)間[0，2]上的單谷函數(shù)；
（2）已知函數(shù)fn（x）（n∈N*且n≥2）的導(dǎo)函數(shù)f′n=xn+…+x2+x+3•（
2
3
）n-2．
①證明：fn（x）為區(qū)間[0，
2
3
]上的單谷函數(shù)：
②記函數(shù)fn（x）在區(qū)間[0，
2
3
]上的峰點為xn，證明：xn+1＞xn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解下列關(guān)于x的方程：
（1）2sinx+cosx=2；
（2）sin2x=sin2x；
（3）cosx+2=2tan2（
x
2
）

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已知橢圓G的離心率為
2
2
，其短軸兩端點為A（0，1），B（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）若C、D是橢圓G上關(guān)于y軸對稱的兩個不同點，直線AC、BD與x軸分別交于點M、N．判斷以MN為直徑的圓是否過點A，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）問過坐標(biāo)原點可以作幾條直線與曲線y=f（x）相切？并說明理由；
（3）若g（x）=f（x）•e-x在區(qū)間（0，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某分公司有甲、乙、丙三個項目向總公司申報，總公司有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個部門進(jìn)行評估審批，已知這三個部門的審批通過率分別為
1
2
、
2
3
、
2
3
．只要有兩個部門通過就能立項，立項的每個項目能獲得總公司100萬的投資．
（1）求甲項目能立項的概率；
（2）設(shè)該分公司這次申報的三個項目獲得的總投資額為X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

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