Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…
（1）求證：{

1

an

-1}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）證明：對任意的x＞0，a_n≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

（

2

3n

-x），n=1，2，…
（3）證明：n-

2

5

≥a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）把原數(shù)列遞推式取倒數(shù)，然后配方化為

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，得到數(shù)列∴{

1

an

-1}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．則{a_n}的通項公式可求；
（2）把{a_n}的通項公式代入后作差，整理后由差式大于等于0得答案；
（3）不等式左邊直接代入數(shù)列{a_n}的通項公式放縮得答案，借助于（2），分別取n=1，2，3，…，累加后取取x=

2 3 + 2 3n +…+ 2 3n

n

=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)證得答案．

解答： 證明：（1）∵a_n+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，即

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
又

1

a1

-1=

2

3

≠0，
∴{

1

an

-1}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

；
（2）an-[

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)]=

3n

3n+2

-[

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)]
=

(3n)2•x2-4•3n•x+4

(3n+2)•3n•(1+x)2

=

(3n•x-2)2

(3n+2)•3n•(1+x)2

≥0；
（3）由an=

3n

3n+2

=1-

2

3n+2

，知a1+a2+…+an=n-2(

1

5

+

1

11

+…+

1

3n+2

)≤n-

2

5

，
當n=1時等號成立．
∴n-

2

5

≥a₁+a₂+…+a_n；
由（2）知，對于任意x＞0，有
a1+a2+…+an≥

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-nx)，
取x=

2 3 + 2 3n +…+ 2 3n

n

=

2 3 (1- 1 3n )

n(1- 1 3 )

=

1

n

(1-

1

3n

)，
則a₁+a₂+…+a_n≥

n

1+ 1 n (1- 1 3n )

=

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

．
故n-

2

5

≥a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了利用作差法及放縮法證明不等式，是難度較大的題目．