Question

在三棱錐S-ABC中，O是AB的中點(diǎn)，SA=SB=

2

，其余棱長均為2．
（1）求證：平面SOC⊥平面ABC；
（2）求二面角O-SC-A的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出SO⊥AB，CO⊥AB，從而得到AB⊥平面SOC，由此能證明平面SOC⊥平面ABC．
（2）取SC中點(diǎn)D，連結(jié)OD、AD，由已知條件推導(dǎo)出∠ADO是二面角二面角O-SC-A的平面角，由此能求出二面角O-SC-A的平面角的正切值．

解答： （1）證明：在三棱錐S-ABC中，
∵O是AB的中點(diǎn)，SA=SB=

2

，其余棱長均為2，
∴SO⊥AB，CO⊥AB，SO∩CO=O，
∴AB⊥平面SOC，
∵AB?平面ABC，
∴平面SOC⊥平面ABC．
（2）解：取SC中點(diǎn)D，連結(jié)OD、AD，
由題意知SO=CO=

3

，SA=CA=2，
∴OD⊥SC，AD⊥SC，
∴∠ADO是二面角二面角O-SC-A的平面角，
由題意知OD=

3-1

=

2

，AD=

4-1

=

3

，AO=1，
∴cos∠ADO=

3+2-1

2 3 • 2

=

6

3

，
∴sin∠ADO=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
∴tan∠ADO=

3 3

6 3

=

2

2

．
∴二面角O-SC-A的平面角的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．