Question

【題目】已知向量 =（sinx，1）， =（ Acosx， cos2x）（A＞0），函數f（x）= 的最大值為6．
（1）求A；
（2）將函數y=f（x）的圖象像左平移 個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求g（x）在[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= = Asinxcosx+ cos2x= Asin2x+ cos2x=A（ sin2x+ cos2x）=Asin（2x+ ）．

因為A＞0，由題意可知A=6．

（2）解：由（1）f（x）=6sin（2x+ ）．

將函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位后得到，

y=6sin[2（x+ ）+ ]=6sin（2x+ ）的圖象．再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍，

縱坐標不變，得到函數y=6sin（4x+ ）的圖象．因此g（x）=6sin（4x+ ）．

因為x∈[0， ]，所以4x+ ∈[ ， ]，4x+ = 時取得最大值6，4x+ = 時函數取得最小值﹣3．

故g（x）在[0， ]上的值域為[﹣3，6]

【解析】（1）利用向量的數量積展開，通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數化為，一個角的一個三角函數的形式，通過最大值求A；（2）通過函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律將函數y=f（x）的圖象像左平移 個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達式，通過x∈[0， ]求出函數的值域．