【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax.
(1)若函數(shù)f(x)在x=3處取得極值,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若a> ,函數(shù)y=f(x)在[0,2a]上的最小值是﹣a2 , 求a的值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax,
∴f′(x)=6x2﹣6(a+1)x+6a,
∵3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),
∴f′(3)=0,即6×32﹣6(a+1)×3+6a=0,
解得:a=3,
∴f(x)=2x3﹣12x2+18x,
f′(x)=6x2﹣24x+18,
則f(0)=0,f′(0)=18,
∴y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程是:y=18x;
(2)解:由(1)得:f′(x)=6x2﹣6(a+1)x+6a,
∴f′(x)=6(x﹣1)(x﹣a),
①a=1時(shí),f′(x)=6(x﹣1)2≥0,
∴f(x)min=f(0)=0≠﹣a2,
故a=1不合題意;
②a>1時(shí),令f′(x)>0,則x>a或x<1,
令f′(x)<0,則1<x<a,
∴f(x)在[0,1]遞增,在[1,a]遞減,在[a,2a]遞增,
∴f(x)在[0,2a]上的最小值是f(0)或f(a),
∵f(0)=0≠﹣a2,由f(a)=2a3﹣3(a+1)a2+6a2=﹣a2,
解得:a=4;
③ <a<1時(shí),令f′(x)>0,則有x>1或x<a,
令f′(x)<0,則a<x<1,
∴f(x)在[0,a]遞增,在[a,1]遞減,在[1,2a]遞增,
∴f(x)min=f(1)=2﹣3(a+1)+6a=﹣a2,
解得:a= 與 <a<1矛盾,
綜上,符合題意的a的值是4
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),得到關(guān)于a的方程,解出a,求出f(x)的解析式,從而求出切線方程即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)f(x)的最小值,求出對(duì)應(yīng)的a的值即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知半徑為5的圓的圓心在軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線相切.
求:(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦?
若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓的離心率為,過點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率;②若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和=2-,數(shù)列{}滿足b1=1, b3+b7=18,且+=2(n≥2).
(1)求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式;
(2)若=,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解市民對(duì)某項(xiàng)政策的態(tài)度,隨機(jī)抽取了男性市民25人,女性市民75人進(jìn)行調(diào)查,得到以下的列聯(lián)表:
支持 | 不支持 | 合計(jì) | |
男性 | 20 | 5 | 25 |
女性 | 40 | 35 | 75 |
合計(jì) | 60 | 40 | 100 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為市民“支持政策”與“性別”有關(guān)?
將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有市民中,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位市民進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位市民中持“支持”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。
附:.
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯(cuò)誤的是_____________.
①.如果命題“”與命題“或”都是真命題,那么命題一定是真命題.
②.命題,則
③.命題“若,則”的否命題是:“若,則”
④.特稱命題 “,使”是真命題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1﹣2an , bn=an+1﹣an ,
(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinx,1), =( Acosx, cos2x)(A>0),函數(shù)f(x)= 的最大值為6.
(1)求A;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象像左平移 個(gè)單位,再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求g(x)在[0, ]上的值域.
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