Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)e－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在實數(shù)x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) (－∞，3－2e)∪.

【解析】試題分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)存在，使得成立成立，則，分類討論求最值，即可求實數(shù)的取值范圍．

試題解析：(1)∵函數(shù)的定義域為，

∴當(dāng)時， ；當(dāng)時，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

(2)假設(shè)存在，使得成立，則.

∵

∴.

對于，當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞減，

∴，即.

②當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增，

∴，即.

③當(dāng)時，若，則， 在上單調(diào)遞減；

若，則， 在上單調(diào)遞增，

∴，即.(*)

由(1)知， 在上單調(diào)遞減，

故，而

∴不等式(*)無解．

綜上所述， 的取值范圍為