Question

【題目】已知五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=，．

（1）求證：AB平面ADE；

（2）求平面EBC與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)果,（2）先根據(jù)條件證得直線DE,DA,DC兩兩互相垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（1）因為 ，，所以

因為四邊形CDEF為矩形，所以，

因為,所以，

因為，所以

(2)因為 ，，所以，

由（1）得，所以直線DE,DA,DC兩兩互相垂直，

故以點D為坐標(biāo)原點，分別以正方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則E（0,0,2）A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2），

設(shè)平面EBC和平面BCF法向量分別為，，

則,所以，

取得，

同理，所以

取得

設(shè)所求角為，則，即所求銳二面角的余弦值為.