Question

7．若數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n
（Ⅰ）證明：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n項和為S_n，求證S_n$＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證，再由等比數(shù)列的通項公式即可求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）運用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理可得S_n，再由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 （Ⅰ）證明：a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n
即有$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
則{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
即有$\frac{{a}_{n}}{n}$=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
即a_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（Ⅱ）證明：{a_n}的前n項和為S_n，
即有S_n=1•$\frac{1}{3}$+2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+3•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4•{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{2•{3}^{n}}$＜$\frac{3}{4}$．
則S_n$＜\frac{3}{4}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義的運用，考查數(shù)列的通項公式的求法，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．