Question

18．已知拋物線$y=-\frac{3}{16}（x-1）（x-9）$與x軸交于A，B兩點，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{41}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{34}}}{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的頂點坐標(biāo)，寫出圓的方程，設(shè)出G的坐標(biāo)，推出P的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求解最值．

解答 解：拋物線$y=-\frac{3}{16}（x-1）（x-9）$與x軸交于A，B兩點，
可得A（1，0），B（9，0），D（5，0），C（5，3），圓的方程為：（x-5）²+（y-3）²=4，
設(shè)G（5+2cosθ，3+2sinθ）．P為AG的中點，
可得P（3+cosθ，$\frac{3}{2}$+sinθ）．
DP=$\sqrt{（{cosθ-2）}^{2}+（\frac{3}{2}+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{5+\frac{9}{4}-4cosθ+3sinθ}$=$\sqrt{5+\frac{9}{4}+5sin（θ-γ）}$，其中tanγ=$\frac{4}{3}$．
$\sqrt{5+\frac{9}{4}+5sin（θ-γ）}$≤$\sqrt{10+\frac{9}{4}}$=$\frac{7}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及圓的參數(shù)方程與三角函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．