【題目】已知數(shù)列滿足： ， ， ．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足，試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）將數(shù)列中的部分項按原來順序構(gòu)成新數(shù)列，且，求證：存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列．

【答案】（1）（）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）因為，所以, 數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，從而求出通項公式；（2）因為，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，計算 ，利用，即可求出；（3）因為， ，先證數(shù)列滿足題意，即證此數(shù)列中的任何一項都是數(shù)列中的項． 令，則只需證即可．本題也可考慮數(shù)學(xué)歸納法證明.　

試題解析：

（1）因為，所以，

所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．

所以， ，又由題意， ，

所以（）．

（2）由，得，

故，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，

所以， ，令， ，得， ．

若為等差數(shù)列，則，解得．

當(dāng)時， ， ， 為等差數(shù)列．

所以，當(dāng)時，數(shù)列為等差數(shù)列．

（3）， ，先證數(shù)列滿足題意，即證此數(shù)列中的任何一項都是數(shù)列中的項．

令，則只需證即可．　

此時， ，故．

所以，此數(shù)列中的第項是數(shù)列中的第項．

（也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除，證明如下）

① 當(dāng)時， ，能被整除；

② 假設(shè)當(dāng)（）時結(jié)論成立，即能被整除，

那么當(dāng)時， ，

因為與都能被整除，所以也能被整除，

即時，結(jié)論也成立．

由①、②知，當(dāng)時， 能被整除．

因此，以為首項， ， ，…， ，…為公比的無窮等比數(shù)列均滿足題意，命題得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數(shù)圖象恒過的定點坐標(biāo)；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點，且.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中為常數(shù)），．

（1）求的最大值；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）時，求在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）且， 均恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列： 滿足： ， 或1（）．對任意，都存在，使得．，其中 且兩兩不相等．

(I)若．寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號；

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記．若，證明： ；

(Ⅲ)若，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時， 的最大值為，求證： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求、．

（Ⅱ）設(shè)，求的最大值．

（Ⅲ）證明函數(shù)的圖像與直線沒有公共點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線過點，圓:,直線與圓交于兩點.

（） 求直線的方程；

（）求直線的斜率的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在過點且垂直平分弦的直線?若存在，求直線斜率的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為研究某種圖書每冊的成本費（元）與印刷數(shù)（千冊）的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并作了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

表中， .

（1）根據(jù)散點圖判斷： 與哪一個更適宜作為每冊成本費（元）與印刷數(shù)（千冊）的回歸方程類型？（只要求給出判斷，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01）；

（3）若每冊書定價為10元，則至少應(yīng)該印刷多少千冊才能使銷售利潤不低于78840元？（假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到1）

（附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為， ）

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