Question

已知數列{a_n}前項和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n∈N⁺．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求a₂+a₄+…+a_4n的和；
（Ⅲ）若記b_n=S_n+2n-1，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）利用遞推式與等比數列的通項公式即可得出；
（II）利用等比數列的通項公式前n項和公式即可得出；
（III）利用等差數列與等比數列的通項公式前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n=2-a_n，n∈N⁺，
∴當n=1時，a₁=2-a₁，解得a₁=1，
當n≥2時，S_n-1=2-a_n-1，∴a_n=a_n-1-a_n，即an=

1

2

an-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為1，公比為

1

2

，
∴an=(

1

2

)n-1．
（II）由（I）可得：a_2n=(

1

2

)2n-1，
∴

a4

a2

=

1

4

，
∴a₂+a₄+…+a_4n=

1 2 [1-( 1 4 )2n]

1- 1 4

=

2

3

(1-

1

16n

)；
（III）∵S_n=2-(

1

2

)n-1，
∴b_n=S_n+2n-1=2-(

1

2

)n-1+2n-1=2n+1-(

1

2

)n-1，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=

n(3+2n+1)

2

-

1- 1 2n

1- 1 2

=n²+2n-2+

1

2n-1

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式前n項和公式、遞推式的應用，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．