Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx
（1）若a=1，b=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a≥0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1，b=-1時(shí)，得f（x）=x²-x-lnx，從而f′（x）=2x-1-

1

x

，進(jìn)而f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由函數(shù)的解析式知，可先求出函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)a≥0，分a=0，a＞0兩類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

解答： 解：（1）a=1，b=-1時(shí)，
f（x）=x²-x-lnx，
∴f′（x）=2x-1-

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-

1

x

又a≥0，
故當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

bx-1

x

，
若b=0時(shí)，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜

1

b

，即函數(shù)在（0，

1

b

）上是減函數(shù)，在（

1

b

，+∞）上是增函數(shù)、
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

b

），單調(diào)遞增區(qū)間是（

1

b

，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=

-b+ b2+8a

4a

，x₁=

-b- b2+8a

4a

顯然有x₁＜0，x₂＞0，
故在區(qū)間（0，

-b+ b2+8a

4a

）上，導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)是減函數(shù)；
在區(qū)間（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）上，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)是增函數(shù)
綜上，當(dāng)a=0，b≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a=0，b＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

b

），單調(diào)遞增區(qū)間是（

1

b

，+∞）；
當(dāng)a＞0，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

-b+ b2+8a

4a

），單調(diào)遞增區(qū)間是（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用題，解題的關(guān)鍵是熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性及根據(jù)所比較的兩個(gè)量的形式構(gòu)造新函數(shù)利用最值建立不等式比較大小，本題考查了創(chuàng)新探究能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想，本題綜合性較強(qiáng)，所使用的方法具有典型性，題后應(yīng)做好總結(jié)以備所用的方法在此類(lèi)題的求解過(guò)程中使用．