Question

【題目】某工程隊(duì)共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把500人分成兩組，甲組的任務(wù)是完成一段4000米的軟土地帶，乙組的任務(wù)是完成剩下的2000米的硬土地帶，據(jù)測(cè)算，軟、硬土地每米的工程量是30工（工為計(jì)量單位）和40工.

（1）若平均分配兩組的人數(shù)，分別計(jì)算兩組完工的時(shí)間，并求出此時(shí)全隊(duì)的筑路工期；

（2）如何分配兩組的人數(shù)會(huì)使得全隊(duì)的筑路工期最短？

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）硬土，軟土的人數(shù)分別分配為275，225時(shí)，全隊(duì)工期最短，為437．

【解析】

（1）平均分配兩組的人數(shù)各為250人，兩組完工的時(shí)間分別為：，．可得此時(shí)全隊(duì)的筑路工期．

（2）假設(shè)分配兩組的人數(shù)分別為x，500﹣x．可得兩組完工的時(shí)間分別為：，．可得兩組完工的時(shí)間和40000.0＜x＜500．令f（x），0＜x＜500．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

（1）平均分配兩組的人數(shù)各為250人，兩組完工的時(shí)間分別為：480，320．

∴此時(shí)全隊(duì)的筑路工期為480．

∴硬土480，軟土320，全隊(duì)工期480；

（2）假設(shè)分配兩組的人數(shù)分別為x，500﹣x．

則：兩組完工的時(shí)間分別為：，．

∴兩組完工的時(shí)間和40000.0＜x＜500．

令f（x），0＜x＜500．

∴f′（x）0，

解得x＝1500﹣500275．

∴全隊(duì)的筑路工期為437．

另解：y，0＜x＜500．

則y（x+500﹣x）（）（5）（5+2），

當(dāng)且僅當(dāng)x＝1500﹣500275時(shí)取等號(hào)．

∴硬土，軟土的人數(shù)分別分配為275，225時(shí)，全隊(duì)工期最短，為437．