【題目】如圖,在直三棱柱中,,,,點(diǎn)E,F分別在,,且,.設(shè).
(1)當(dāng)時(shí),求異面直線與所成角的大小;
(2)當(dāng)平面平面時(shí),求的值.
【答案】(1)60°(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出平面ABC,AC,建立分別以AB,AC,為軸的空間直角坐標(biāo)系,利用法向量能求出異面直線AE與所成角.
(2)推導(dǎo)出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量,由平面平面,能求出的值.
解:因?yàn)橹比庵?/span>,
所以平面,
因?yàn)?/span>平面,
所以,,
又因?yàn)?/span>,
所以建立分別以,,為軸的空間直角坐標(biāo)系.
(1)設(shè),則,,
各點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,.
,.
因?yàn)?/span>,,
所以.
所以向量和所成的角為120°,
所以異面直線與所成角為60°;
(2)因?yàn)?/span>,,
,
設(shè)平面的法向量為,
則,且.
即,且.
令,則,.
所以是平面的一個(gè)法向量.
同理,是平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以,
,
解得.
所以當(dāng)平面平面時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新能源汽車是我國(guó)汽車工業(yè)由大變強(qiáng)的一條必經(jīng)之路!國(guó)家對(duì)其給予政策上的扶持,己成為我國(guó)的戰(zhàn)略方針.近年來,我國(guó)新能源汽車制造蓬勃發(fā)展,某著名車企自主創(chuàng)新,研發(fā)了一款新能源汽車,經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析獲得:在某種路面上,該品牌汽車的剎車距離(米)與其車速(千米/小時(shí))滿足下列關(guān)系:(,是常數(shù)).(行駛中的新能源汽車在剎車時(shí)由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫做剎車距離).如圖是根據(jù)多次對(duì)該新能源汽車的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車距離(米)與該車的車速(千米/小時(shí))的關(guān)系圖.該新能源汽車銷售公司為滿足市場(chǎng)需求,國(guó)慶期間在甲、乙兩地同時(shí)展銷該品牌的新能源汽車,在甲地的銷售利潤(rùn)(單位:萬元)為,在乙地的銷售利潤(rùn)(單位:萬元)為,其中為銷售量(單位:輛).
(1)若該公司在兩地共銷售20輛該品牌的新能源汽車,則能獲得的最大利潤(rùn)是多少?
(2)如果要求剎車距離不超過25.2米,求該品牌新能源汽車行駛的最大速度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,點(diǎn)E是線段PC的中點(diǎn).
(1)求異面直線AP與BE所成角的大;
(2)若點(diǎn)F在線段PB上,使得二面角F-DE-B的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義城為D,若滿足條件:存在,使在上的值城為(且),則稱為“k倍函數(shù)”,給出下列結(jié)論:①是“1倍函數(shù)”;②是“2倍函數(shù)”:③是“3倍函數(shù)”.其中正確的是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某山地車訓(xùn)練中心有一直角梯形森林區(qū)域,其四條邊均為道路,其中,,千米,千米,千米.現(xiàn)有甲、乙兩名特訓(xùn)隊(duì)員進(jìn)行野外對(duì)抗訓(xùn)練,要求同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地,其中甲的行駛路線是,速度為千米/小時(shí),乙的行駛路線是,速度為千米/小時(shí).
(1)若甲、乙兩名特訓(xùn)隊(duì)員到達(dá)地的時(shí)間相差不超過分鐘,求乙的速度的取值范圍;
(2)已知甲、乙兩名特訓(xùn)隊(duì)員攜帶的無線通訊設(shè)備有效聯(lián)系的最大距離是千米.若乙先于甲到達(dá)地,且乙從地到地的整個(gè)過程中始終能用通訊設(shè)備對(duì)甲保持有效聯(lián)系,求乙的速度的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2014年12月19日,2014年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(第30屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng))在重慶市巴蜀中學(xué)舉行.參加本屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽共有來自各省、市(自治區(qū)、直轄市)、香港地區(qū)、澳門地區(qū),以及俄羅斯、新加坡等國(guó)的30余支代表隊(duì),共317名選手.競(jìng)賽為期2天,每天3道題,限時(shí)4個(gè)半小時(shí)完成.部分優(yōu)勝者將參加為國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽而組建的中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì).中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng))是在全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽基礎(chǔ)上進(jìn)行的一次較高層次的數(shù)學(xué)競(jìng)賽,該項(xiàng)活動(dòng)也是中國(guó)中學(xué)生級(jí)別最高、規(guī)模最大、最有影響的全國(guó)性數(shù)學(xué)競(jìng)賽.2020年第29屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽也將在重慶巴蜀中學(xué)舉行.巴蜀中學(xué)校本選修課“數(shù)學(xué)建!迸d趣小組調(diào)查了2019年參加全國(guó)生物競(jìng)賽的200名學(xué)生(其中男生、女生各100人)的成績(jī),得到這200名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為78.這200名學(xué)生成績(jī)均在50與110之間,且成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的人數(shù)為30,這200名學(xué)生成績(jī)的高于平均數(shù)的男生有62名,女生有38名.并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求,的值;
(2)填寫下表,能否有的把握認(rèn)為學(xué)生成績(jī)是否高于平均數(shù)與性別有關(guān)系?
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
成績(jī)不高于平均數(shù) | |||
成績(jī)高于平均數(shù) | |||
總計(jì) |
參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是橢圓上的點(diǎn),,是焦點(diǎn),離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),是橢圓上的兩點(diǎn),且,(是定數(shù)),問線段的垂直平分線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出此定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,.
(1)當(dāng),,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;
(3)當(dāng)時(shí),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),,求證:.
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