Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為（

2

，0），離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求證：點O到直線AB的距離為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的右焦點為（

2

，0），離心率為

6

3

，求出c，a，可求b，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，根據(jù)點到直線的距離公式，即可得證；
（Ⅲ）分類討論，求出|AB|的最大值，即可求△OAB面積的最大值．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓的右焦點為（

2

，0），離心率為

6

3

，
∴

c= 2 e= c a = 6 3

，
∴a=

3

，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）證明：直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，
消元可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）

3m2-3

1+3k2

-km×

6km

1+3k2

+m²=0
∴4m²=3（k²+1）
∴原點O到直線的距離為d=

|m|

k2+1

=

3

2

當(dāng)直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+3y₁²=3，∴|x₁|=|y₁|=

3

2

∴原點O到直線的距離為d=|x₁|=

3

2

綜上，點O到直線AB的距離為定值；
（Ⅲ）解：直線AB斜率存在時，由弦長公式可得|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)(36k2-12m2+12) (1+3k2)2

=

3+ 12 9k2+ 1 k2 +6

≤

3+ 12 6+2 9k2• 1 k2

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±

3

3

時，等號成立，
∴|AB|≤2，
直線AB斜率不存在時，|AB|=|y₁-y₂|=

3

＜2，
∴△OAB面積=

1

2

|AB|d≤

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴△OAB面積的最大值為

3

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．