Question

下面給出四個(gè)命題：
①若a≥b＞-1，則

a

1+a

≥

b

1+b

；
②a＜-1是一元二次方程ax²+2x+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁＜a₂＜a₃是數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列的必要不充分條件；
④方程(x+y-2)

x2+y2-9

=0表示的曲線是一個(gè)圓和一條直線．
其中為真命題的是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用不等式的性質(zhì)即可判斷出；
②利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷出；
③數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列?a_n＜a_n+1對(duì)于?n∈N^*都成立，即可判斷出；
④方程(x+y-2)

x2+y2-9

=0可化為x+y=2或x²+y²=9，即可判斷出．

解答： 解：①∵a（1+b）-b（1+a）=a-b≥0，∴a（1+b）≥b（1+a），
又a≥b＞-1，∴1+a＞0，1+b＞0，
∴

a

1+a

≥

b

1+b

，因此正確；
②要使一元二次方程ax²+2x+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根則

1

a

＜0，解得a＜0，
因此a＜-1是一元二次方程ax²+2x+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件，故正確；
③在數(shù)列{a_n}中，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列?a_n＜a_n+1對(duì)于?n∈N^*都成立．
因此a₁＜a₂＜a₃是數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列的必要不充分條件；
④方程(x+y-2)

x2+y2-9

=0可化為x+y=2或x²+y²=9，
表示的曲線是圓和一條直線．因此④正確．
綜上可知：①②③④都正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、遞增數(shù)列的充分必要條件、方程與曲線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．