Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求直線的方程；

（Ⅱ）當時，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出參數(shù)，再根據(jù)點斜式方程得到直線的方程．（Ⅱ）由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，．不妨設，此時．故要證，只需證，只需證，然后構造函數(shù)，可證得時，單調(diào)遞減，進而可得結論成立．

（Ⅰ）解：∵，

∴，

∴，

∵切線與直線垂直，

∴，故．

∴，

∴直線方程為，即．

（Ⅱ）證明：

由（Ⅰ）知，

∴當時，；當時， ．

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又，

∴當時，．

根據(jù)題意不妨設，此時，

故要證，

只需證，

只需證．

因為，故 只需證．

設，

則，

∴當時，單調(diào)遞減，

∴時，，

即，

∴當時，，

∴，

∴，

又函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

∴．