已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn),點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn),且
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,圓.過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線,設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為,被圓截得的弦長(zhǎng)為,問:是否為定值?如果是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.

(1);(2) .

解析試題分析:(1)由拋物線的焦點(diǎn)求的雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),再由求得點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合雙曲線的定義可得雙曲線的方程;(2)首先利用直線與圓相切求得圓,再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng),化簡(jiǎn)求值即可,需注意直線的形式,有無斜率需考慮.
試題解析:(1)∵拋物線的焦點(diǎn)為,
∴雙曲線的焦點(diǎn)為、,                  1分
設(shè)在拋物線上,且
由拋物線的定義得,,∴,∴,∴,          3分
,                  4分
又∵點(diǎn)在雙曲線上,由雙曲線定義得:
,∴, ∴雙曲線的方程為:.            6分
(2)為定值.下面給出說明.
設(shè)圓的方程為:, ∵圓與直線相切,
∴圓的半徑為,故圓.             7分
顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意,                  8分
設(shè)的方程為,即
設(shè)的方程為,即,
∴點(diǎn)到直線的距離為,
點(diǎn)到直線的距離為,                  10分
∴直線被圓截得的弦長(zhǎng),           11分
直線被圓截得的弦長(zhǎng),           12分
, 故為定值.             14分
考點(diǎn):1.圓錐曲線的定義;2.直線與圓的方程;3.直線與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點(diǎn)、,若動(dòng)點(diǎn)滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線:的距離最。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線,與橢圓)相交于兩點(diǎn). 當(dāng)軸時(shí),,當(dāng)軸時(shí),
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點(diǎn)為,且,求直線的方程.

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經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)、在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓的離心率是其左右焦點(diǎn),點(diǎn)是直線(其中)上一點(diǎn),且直線的傾斜角為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若 是橢圓上兩點(diǎn),滿足,求為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值.

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如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(Ⅰ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上.
(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線交拋物線兩不同點(diǎn),交軸于點(diǎn),已知,則
是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的方程為,其離心率為,經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)F為拋物線E: 的焦點(diǎn),A、B、C為該拋物線上三點(diǎn),已知 .
(1)求拋物線方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線相交于點(diǎn)Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)。

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同步練習(xí)冊(cè)答案