Question

【題目】已知直線與直線互相垂直，且交點(diǎn)為Q，點(diǎn)，線段QF的垂直平分線與直線交于點(diǎn)P．

（I）若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，求曲線E的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的兩條直線分別與曲線E交于A，B和C，D，且，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，？說明理由．

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）存在，

【解析】

（I）結(jié)合題意可知,根據(jù)拋物線定義,可知點(diǎn)P軌跡是以為準(zhǔn)線,F為焦點(diǎn)的拋物線,由焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果.

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為,由可知A，N，C共線,設(shè)直線AC的方程為,設(shè)點(diǎn),,由直線AB和曲線E聯(lián)立,借助韋達(dá)定理可得,,代入計(jì)算求得的關(guān)系式,,,即可得出結(jié)論

（Ⅰ）由題意，，結(jié)合拋物線定義，

可知點(diǎn)P軌跡是以為準(zhǔn)線，F為焦點(diǎn)的拋物線，

故曲線E的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為，

由，得．

設(shè)點(diǎn)，則．

同理，設(shè)點(diǎn)．則．

由可知A，N，C共線，

設(shè)直線AC的方程為，

由，得，．

又，

，

故，所以存在常數(shù)，使．